Pozdrav
Može se lako izvesti formula. Pa da počnemo.
Neka je četverougao [inlmath]ABCD[/inlmath] deltoid, takav da je [inlmath]AB=BC=a,\;AD=CD=b,\;AC=d_1[/inlmath] i [inlmath]BD=d_2[/inlmath]. Ugao [inlmath]ABC[/inlmath] je [inlmath]\alpha[/inlmath] i ugao [inlmath]ADC[/inlmath] je [inlmath]\beta[/inlmath], dijagonale se sijeku u [inlmath]H[/inlmath].
Uočimo sada trougao [inlmath]BCH[/inlmath] vidimo da je [inlmath]d_1=2a\cdot\sin\frac{\alpha}{2}[/inlmath], isto tako za trougao [inlmath]CDH[/inlmath] je [inlmath]d_1=2b\cdot\sin\frac{\beta}{2}[/inlmath] [inlmath](1)[/inlmath].
Na ove trouglove primijenimo Pitagorinu teoremu, pa imamo: [inlmath](2)[/inlmath]
[dispmath]DH=\sqrt{b^2-\frac{d_1^2}{4}}\\
BH=\sqrt{a^2-\frac{d_1^2}{4}}[/dispmath] Uočavamo još da je [inlmath]DB=DH+HB=d_2[/inlmath] [inlmath](3)[/inlmath]
Zatim u [inlmath](3)[/inlmath] uvrstimo [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath] pa dobijamo:
[dispmath]d_2=a\cdot\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}}+b\cdot\sqrt{1-\sin^2\frac{\beta}{2}}=a\cdot\cos\frac{\alpha}{2}+b\cdot\cos\frac{\beta}{2}[/dispmath] Neka je prava [inlmath]SP=r[/inlmath] normalna na pravu [inlmath]AD[/inlmath], prava [inlmath]SQ=r[/inlmath] normalna na pravu [inlmath]CD[/inlmath], prava [inlmath]SR=r[/inlmath] normalna na pravu [inlmath]AB[/inlmath], i prava [inlmath]SM=r[/inlmath] normalna na pravu [inlmath]BC[/inlmath], naravno tačka [inlmath]S[/inlmath] je centar upisane kružnice u naš deltoid. Jasno je zašto su prave normalne. Ugao između poluprečnika i tangente je prav.
Sada ćemo uočiti neke slične trouglove.
Trougao [inlmath]PDS[/inlmath] je sličan trouglu [inlmath]HDA[/inlmath], odakle imamo da je [inlmath]\frac{DS}{DA}=\frac{PS}{HA}[/inlmath], tj.
[inlmath]\frac{DS}{b}=\frac{r}{\frac{d_1}{2}}[/inlmath], što će reći da je [inlmath]DS=\frac{2\cdot r\cdot b}{d_1}[/inlmath].
Analogno iz sličnosti trouglova [inlmath]RBS[/inlmath] i [inlmath]HBA[/inlmath] slijedi [inlmath]BS=\frac{2\cdot r\cdot a}{d_1}[/inlmath].
Vidi se da je [inlmath]DS+BS=d_2[/inlmath]. Uvrštavanjem dobijamo [inlmath]r=\frac{d_1\cdot d_2}{2(a+b)}[/inlmath] [inlmath](4)[/inlmath].
Primjenom sinusne teoreme na trougao [inlmath]BCD[/inlmath], dobijamo [inlmath]\frac{a}{\sin\frac{\beta}{2}}=\frac{b}{\sin\frac{\alpha}{2}}[/inlmath] pa je [inlmath]a=\frac{b\cdot\sin\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}[/inlmath]. Uvrštavanjem ovoga i [inlmath]d_1[/inlmath] i [inlmath]d_2[/inlmath] u [inlmath](4)[/inlmath] i malo sređivanja dobija se formula za poluprečnik upisane kružnice u deltoid, koja glasi:
[dispmath]r=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\frac{\beta}{2}\left(a\cdot\cos\frac{\alpha}{2}+b\cdot\cos\frac{\beta}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}}[/dispmath]
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life