wolfe, posmatraj to ovako: u [inlmath]k[/inlmath]-tom članu niza, unutar zagrade imaš ukupno [inlmath]k[/inlmath] sabiraka (svaki u obliku razlomka). Svaki od imenilaca tih razlomaka za [inlmath]1[/inlmath] je veći od prethodnog. Imenilac prvog sabirka je [inlmath]k+1[/inlmath], a imenilac poslednjeg je [inlmath]k+k[/inlmath], iliti [inlmath]2k[/inlmath].
Znači, kod [inlmath](k+1).[/inlmath] člana niza imenilac prvog sabirka će biti [inlmath](k+1)+1[/inlmath], tj. [inlmath]k+2[/inlmath], dok će svaki sledeći imenilac biti veći za [inlmath]1[/inlmath] od prethodnog, što znači da će sledeći biti [inlmath]k+3[/inlmath], pa [inlmath]k+4[/inlmath] itd. a pošto pošto poslednji imenilac mora biti [inlmath]2(k+1)[/inlmath] tj. [inlmath]2k+2[/inlmath], imenioci pre njega će biti [inlmath]2k-1[/inlmath], [inlmath]2k[/inlmath], [inlmath]2k+1[/inlmath]. I na kraju taj razlomak s imeniocem [inlmath]2k+2[/inlmath].
To je što se tiče principa kako se formira [inlmath](k+1).[/inlmath] član. Međutim, ja lično ne vidim način da se ova nejednakost dokaže indukcijom. Da li se u zadatku sigurno traži da se ovo dokaže baš indukcijom, a ne nekom drugom metodom? Moguće i da ja nešto previđam, ali štos je u tome što je ovaj niz monotono rastući (što se lako može pokazati), a treba dokazati da ako je neki član manji od neke vrednosti, onda će i sledeći član biti manji od te vrednosti – tako da to baš i ne ide indukcijom, jer je taj sledeći član veći od prethodnog člana. Kad bi trebalo dokazati obrnuto – da ako je neki član veći od neke vrednosti onda i sledeći član mora biti veći od te vrednosti – to bi se indukcijom rešavalo rutinski. Jedan takav primer, i to upravo s ovim nizom, imali smo u
ovoj temi – znači, tamo je trebalo dokazati da su svi članovi niza počev od [inlmath]n=2[/inlmath]
veći od neke vrednosti, što već ima logike (OK, tamo nemamo kvadrat ove sume, ali i ovu tvoju nejednakost možemo zapisati bez kvadrata tako što korenujemo obe strane pa se zadatak svodi na dokazivanje da su svi članovi niza manji od [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]).
Inače, suma unutar zagrade (bez kvadrata) konvergira ka [inlmath]\ln2[/inlmath], što je pokazano
ovde, a što upravo i jeste manje (i to vrlo malo manje) od [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]. To jest, kvadrat te sume, tj. leva strana nejednakosti, konvergira ka [inlmath]\ln^22[/inlmath], a pošto je niz monotono rastući, to su svi njegovi članovi manji od [inlmath]\ln^22[/inlmath], a samim tim manji i od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], jer je [inlmath]\ln^22<\frac{1}{2}[/inlmath].