Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Upoređivanje dva potprostora

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Upoređivanje dva potprostora

Postod Gogele » Utorak, 01. Avgust 2017, 12:05

Imam problem sa sledećim zadatkom:

U vektorskom prostoru [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] skupovi [inlmath]S=\left\{(a_1,a_2,\ldots):\;a_i\in\mathbb{R},\;\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\right\}[/inlmath] i [inlmath]T=\left\{(a_1,a_2,\ldots):\;a_i\in\mathbb{R},\;\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_i^2<\infty\right\}[/inlmath], su podprostori i [inlmath]S\subseteq T[/inlmath]. Dokazati.

Ja sam dokazao da su [inlmath]S[/inlmath] i [inlmath]T[/inlmath] podprostori, ali nemam ideju kako da dokažem drugi deo zadatka:

Neka [inlmath]x,y\in S[/inlmath] i [inlmath]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/inlmath]. Tada je [inlmath]\alpha x+\beta y=(\alpha x_1+\beta y_1,\;\alpha x_2+\beta y_2,\;\ldots)[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}(\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha\lim\limits_{n\to\infty}x_n+\beta\lim\limits_{n\to\infty}y_n=\alpha0+\beta0=0[/inlmath], pa sledi da je [inlmath]S[/inlmath] podprostor.
Neka je, sada, [inlmath]x,y\in T[/inlmath] i [inlmath]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/inlmath]. Imamo da je [inlmath]\alpha x+\beta y=(\alpha x_1+\beta y_1,\;\alpha x_2+\beta y_2,\;\ldots)[/inlmath] i [inlmath]\sum\limits_{i=0}^{\infty}(\alpha x_i+\beta y_i)^2=\alpha^2\sum\limits_{i=0}^{\infty}x_i^2+2\alpha\beta\sum\limits_{i=0}^{\infty}x_iy_i+\beta^2\sum\limits_{i=0}^{\infty}y_i^2[/inlmath], pa je [inlmath]\sum\limits_{i=0}^{\infty}(\alpha x_i+\beta y_i)^2<\infty[/inlmath] (pretpostavljam da ovo važi jer imamo konačan broj sabiraka). Odavde sledi da je i [inlmath]T[/inlmath] podprostor.
Kako da rešim i drugi deo zadatka?
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 01. Avgust 2017, 13:43, izmenjena samo jedanput
Razlog: Ispravka naziva teme („podprostori“ u „potprostori“)
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Upoređivanje dva potprostora

Postod Daniel » Utorak, 01. Avgust 2017, 13:45

Gogele je napisao:[inlmath]T=\left\{(a_1,a_2,\ldots):\;a_i\in\mathbb{R},\;\sum\limits_{i={\color{red}0}}^{\infty}a_i^2<\infty\right\}[/inlmath]

Pretpostavljam da je ovo greška, da suma umesto od nule treba da ide od jedinice.

Imam kontraprimer za tvrdnju [inlmath]S\subseteq T[/inlmath], a to bi bio vektor [inlmath]x=\left(\frac{1}{\sqrt1},\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt3},\ldots\right)[/inlmath]. Kod njega je ispunjeno [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0[/inlmath] što znači da pripada skupu [inlmath]S[/inlmath], ali nije ispunjeno [inlmath]\sum\limits_{i=1}^\infty x_i^2<\infty[/inlmath] (budući da red [inlmath]\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots[/inlmath] divergira), što znači da ne pripada skupu [inlmath]T[/inlmath].

Ispravio sam naziv teme, budući da se ne kaže podprostor, već potprostor (jednačenje suglasnika po zvučnosti).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7760
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4080 puta
Pohvaljen: 4133 puta

  • +2

Re: Upoređivanje dva potprostora

Postod ubavic » Utorak, 01. Avgust 2017, 13:51

Nije mi ovo jasno za konačan broj sabiraka. Niz [inlmath]\alpha x+\beta y[/inlmath] pripada prostoru [inlmath]T[/inlmath] jer [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] pripadaju prostoru [inlmath]T[/inlmath] (sume koje ti nizovi određuju su konvergentne) pa važi jednakost [inlmath]\sum\limits_{i=0}^{\infty}(\alpha x_i+\beta y_i)^2=\alpha^2\sum\limits_{i=0}^{\infty}x_i^2+2\alpha\beta\sum\limits_{i=0}^{\infty}x_iy_i+\beta^2\sum\limits_{i=0}^{\infty}y_i^2[/inlmath].

Drugi deo zadatka se ne može dokazati. Međutim, obrnuta inkluzija može.

Što se tiče onog zadatka sa linearnim mnogostrukostima, dobar je.

EDIT: Preteče me Daniel.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 532
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 521 puta

Re: Upoređivanje dva potprostora

Postod Gogele » Utorak, 01. Avgust 2017, 16:05

Pre svega da se izvinim, jer u zadatku piše da se treba dokazati da je [inlmath]T\subseteq S[/inlmath], a ne onako kako sam napisao u prvom postu.

Daniel je napisao:Pretpostavljam da je ovo greška, da suma umesto od nule treba da ide od jedinice.

Ispravio sam naziv teme, budući da se ne kaže podprostor, već potprostor (jednačenje suglasnika po zvučnosti).

Hvala na ovim ispravkama.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

  • +1

Re: Upoređivanje dva potprostora

Postod Daniel » Utorak, 01. Avgust 2017, 16:40

Gogele je napisao:Pre svega da se izvinim, jer u zadatku piše da se treba dokazati da je [inlmath]T\subseteq S[/inlmath], a ne onako kako sam napisao u prvom postu.

U tom slučaju dokaz je trivijalan i svodi se na potreban uslov konvergencije reda, a to je da njegov opšti član teži nuli.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7760
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4080 puta
Pohvaljen: 4133 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 7 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 20. Novembar 2019, 13:09 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs