Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

Postod Gogele » Sreda, 09. Avgust 2017, 14:52

Hteo bih da proverim da li sam sledeći zadatak tačno uradio:

U vektorskom prostoru [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath] zadati su sledeći skupovi, [inlmath]U=\left\{(z_1,z_2,z_3,z_4):z_1+2z_2+z_3=0,\;2z_1+z_2+z_3=0,\;z_1+5z_2+4z_3=0\right\}[/inlmath] i [inlmath]V=\left\{(z_1,z_2,z_3,z_4):z_1-z_3+z_4=0,\;3z_1-z_2+4z_4=0\right\}[/inlmath]. Odrediti jednu bazu i dimenziju potprostora [inlmath]U[/inlmath], [inlmath]V[/inlmath], [inlmath]U+V[/inlmath] i [inlmath]U\cap V[/inlmath]. Zatim odrediti direktni komplement potprostora [inlmath]U[/inlmath].

Moje rešenje je sledeće:

1) Za [inlmath]U[/inlmath]: Nakon rešavanja jednačina dobio sam da je [inlmath]z_1=z_2=z_3=0[/inlmath] i [inlmath]z_4\in\mathbb{C}[/inlmath], pa je [inlmath]U=\{(0,0,0,z_4):z_4\in\mathbb{C}\}[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]U=L\{(0,0,0,1)\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(U)=1[/inlmath]. Baza je vektor [inlmath](0,0,0,1)[/inlmath].

2) Za [inlmath]V[/inlmath]: Nakon rešavanja jendačina dobio sam da je [inlmath]z_1=z_3-z_4[/inlmath] i [inlmath]z_2=3z_3+z_4[/inlmath], pa je [inlmath]V=\{(z_3-z_4,\;3z_3+z_4,\;z_3,z_4):z_3,z_4\in\mathbb{C}\}[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]V=\mathcal{L}\{(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(V)=2[/inlmath]. Baza je niz vektora [inlmath]\{(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath].

3) Sada za [inlmath]x\in U+V[/inlmath], važi: [inlmath]x=\alpha(0,0,0,1)+\beta(1,3,1,0)+\gamma(-1,1,0,1)[/inlmath]. Kada proverimo linearnu nezavisnost vektora [inlmath](0,0,0,1)[/inlmath], [inlmath](1,3,1,0)[/inlmath] i [inlmath](-1,1,0,1)[/inlmath], dobijamo da su ti vektori linearno nezavisni, pa sledi da je [inlmath]U+V=\mathcal{L}\{(0,0,0,1),(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath] i da je [inlmath]\dim(U+V)=3[/inlmath]. Baza je niz vektora [inlmath]\{(0,0,0,1),(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath].

4) Za [inlmath]x\in U\cap V[/inlmath] važi, [inlmath]x=\alpha(0,0,0,1)[/inlmath] i [inlmath]x=\beta(1,3,1,0)+\gamma(-1,1,0,1)[/inlmath], pa je [inlmath](0,0,0,\alpha)=(\beta-\gamma,\;3\beta+\gamma,\;\beta,\;\gamma)[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]\alpha=\beta=\gamma=0[/inlmath]. Dakle, dobijamo da je [inlmath]U\cap V={0}[/inlmath], pa je i [inlmath]\dim(U\cap V)=0[/inlmath]. Baza je nula-vektor.

5) Imamo da je direktni komplement potprostora [inlmath]U[/inlmath], potprostor [inlmath]W[/inlmath], takav da je [inlmath]V=U\oplus W[/inlmath]. Posmatrajmo [inlmath]W=\mathcal{L}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}[/inlmath]. Neka [inlmath]x,y\in W[/inlmath], a [inlmath]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/inlmath]. Dobija se da je [inlmath]\alpha x+\beta y\in W[/inlmath], pa je [inlmath]W[/inlmath] potprostor v.p. [inlmath]\mathbb{C}^4[/inlmath].

Za [inlmath]x\in W\cap U[/inlmath], dobija se da je [inlmath]x=\alpha(1,0,0,0)+\beta(0,1,0,0)+\gamma(0,0,1,0)[/inlmath] i [inlmath]x=\delta(0,0,0,1)[/inlmath]. Odavde dobijamo da je [inlmath]\alpha=\beta=\gamma=\delta=0[/inlmath], pa je i [inlmath]x=(0,0,0,0)[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]W\cap U={0}[/inlmath].

Za [inlmath]x\in\mathbb{C}^4[/inlmath], [inlmath]x=(x_1,x_2,x_3,x_4)[/inlmath], važi da je:
[dispmath]x=\underbrace{x_1(1,0,0,0)+x_2(0,1,0,0)+x_3(0,0,1,0)}_{\in W}+\underbrace{z_4(0,0,0,1)}_{\in U}[/dispmath] odakle sledi da je [inlmath]W[/inlmath] dir. komplement [inlmath]U[/inlmath].

Molim vas, možete li mi reći da li je ovo tačno rešenje i ukazati na eventualne greške?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

Postod ubavic » Sreda, 09. Avgust 2017, 20:37

Prvo ovo da razjasnimo:
Prostori koje posmatraš su potprostori [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath] kako si naveo u samoj postavci zadatka. Ja do sad nisam video oznaku [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath], da li ona predstavlja skup svih uređenih četvorki posmatrane kao vektorski prostor nad realnim poljem? Ako je tako, onda zadatak nije dobar.
Za [inlmath]V=\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath] važi [inlmath]\dim(V)=8[/inlmath]. Da bi se u ovo uverio, posmatraj jednostavniji slučaj: polje [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath] kao vektorski prostor nad [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] ili nad [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath]. U prvom slučaju dimenzija takvog prostora je [inlmath]2[/inlmath], dok je u drugom slučaju dimenzija [inlmath]1[/inlmath].

Ovako postavljen i urađen zadatak bi imao više smisla, kad bi se posmatrao skup [inlmath]\mathbb{C}^4[/inlmath] kao vektorski prostor nad poljem [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath]. Ako je to bio slučaj, ja se unapred izvinjavam.
Ako to jeste bio slučaj, dobro si uradio zadatak (pod pretpostavkom da si dobro rešio sisteme, to ne mogu da rešavam). Postoje sitne greške:

1) Isto kao što ne poistovećujemo jednočlani skup sa njegovim elementom, to ne radimo ni sa uređenom 1-torkom. Jedan vektor ne može biti baza kao što si napisao, ali niz sa jednim vektorom može.
2) Ovde si napisao niz, ali si koristio vitičaste zagrade. Uobičajno je da se za nizove koriste obične zagrade.
Takođe, u konačnom slučaju, lepše je reći uređena n-torka nego niz. A ovde je možda najlepše reći sistem vektora. Isto važi i u prethodnoj i sledećoj tački.
3) Isto si napisao niz vektora, itd... Ali si napravio još jedan prospust: [inlmath]U+V=\mathcal{L}\{(0,0,0,1),(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath] će važiti bez obzira da li su vektori linearno nezavisni ili ne.
4) Baza trivijalnog potprostora [inlmath]\{0\}[/inlmath] je zapravo [inlmath]\{\}[/inlmath].
5) Ako neki skup [inlmath]W[/inlmath] definišeš kao lineal nekog skupa/sistema vektora, onda nema potrebe da dokazuješ da je [inlmath]W[/inlmath] potprostor. Osim ako vam nije to eksplicitno rečeno.

Izvini ako sam preterao, ali tražio si da ti ukažemo na greške :D
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 531
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 519 puta

Re: Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

Postod Gogele » Četvrtak, 10. Avgust 2017, 09:38

ubavic je napisao:Prvo ovo da razjasnimo:
Prostori koje posmatraš su potprostori [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath] kako si naveo u samoj postavci zadatka. Ja do sad nisam video oznaku [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath], da li ona predstavlja skup svih uređenih četvorki posmatrane kao vektorski prostor nad realnim poljem? Ako je tako, onda zadatak nije dobar.

Radi se o v.p. [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath]. Šteta! :)
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

  • +1

Re: Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

Postod ubavic » Četvrtak, 10. Avgust 2017, 11:04

To si već napisao. Ja sam te pitao šta tačno znači ta oznaka?
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 531
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 519 puta

Re: Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

Postod Gogele » Četvrtak, 10. Avgust 2017, 12:07

Izvinjavam se. Da, ta oznaka predstavlja vektorski prostor uređenih četvorki kompleksnih brojeva nad poljem realnih brojeva. Dobro sam proverio i tako piše u tekstu zadatka, tj. nije nad poljem [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath].
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Re: Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

Postod Gogele » Četvrtak, 10. Avgust 2017, 13:24

Imam novo rešenje. Dakle, imamo da je [inlmath]\mathbb{C}^4=\mathcal{L}\left\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(i,0,0,0),(0,i,0,0),(0,0,i,0),(0,0,0,i)\right\}[/inlmath]. Na osnovu toga, analogno kao u mom prvom postu, dobio sam da je:

1) [inlmath]U=\mathcal{L}\left\{(0,0,0,1),(0,0,0,i)\right\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(U)=2[/inlmath].

2) [inlmath]V=\mathcal{L}\left\{(1,3,1,0),(-1,1,0,1),(i,3i,i,0),(-i,i,0,i)\right\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(V)=4[/inlmath].

3) [inlmath]U\cap V=(0,0,0,0)[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(U\cap V)=0[/inlmath].

4) [inlmath]U+V=\mathcal{L}\left\{(0,0,0,1),(0,0,0,i),(1,3,1,0),(-1,1,0,1),(i,3i,i,0),(-i,i,0,i)\right\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(U+V)=6[/inlmath].

5) Direktni komplement potprostora [inlmath]U[/inlmath] je potprostor [inlmath]V=\mathcal{L}\left\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(i,0,0,0),(0,i,0,0),(0,0,i,0)\right\}[/inlmath].

Nadam se da je ovo tačno.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

  • +1

Re: Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

Postod ubavic » Četvrtak, 10. Avgust 2017, 15:44

Verovatno jeste.

Kod ovakvih zadataka Grasmanova formula pomaže da uočiš grešku. Ali to ne znači ako se rezultati uklapaju u Grasmanovu formulu da je sve tačno.

I da, presek dva potprostora ne može biti vektor, ali može biti jednočlan skup.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 531
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 519 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 17. Novembar 2019, 13:11 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs