od Daniel » Četvrtak, 16. Novembar 2017, 15:45
Predložio bih i način bez Vietovih formula (od viška načina ne boli glava – bar ne bi trebalo). Pošto su dve nule dvostruke, a koeficijent uz vodeći član jednak jedinici, polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] se može faktorisati kao:
[dispmath]P(x)=\left(x^2+px+q\right)^2[/dispmath] a zatim se, razvijanjem ovog izraza i upoređivanjem koeficijenata s onima u zadatom obliku, dolazi do sistema jednačina
[dispmath]2p=a\\
p^2+2q=b\\
2pq=-8\\
q^2=4[/dispmath] koji se sasvim lako rešava. Potrebno je samo pretpostaviti dva slučaja, za [inlmath]q=-2[/inlmath] i za [inlmath]q=2[/inlmath].
[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]q=-2[/inlmath]
Dobijaju se rešenja [inlmath](a,b,p,q)=(4,0,2,-2)[/inlmath], pa je traženi polinom jednak [inlmath]P(x)=x^2+4x^3-8x+4[/inlmath], a pošto će njegov oblik [inlmath]P(x)=\left(x^2+px+q\right)^2[/inlmath] sada glasiti [inlmath]P(x)=\left(x^2+2x-2\right)^2[/inlmath], njegove dvostruke nule se mogu odrediti rešavanjem kvadratne jednačine [inlmath]x^2+2x-2=0[/inlmath] i one iznose [inlmath]-1\pm\sqrt3[/inlmath].
[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]q=2[/inlmath]
Dobijaju se rešenja [inlmath](a,b,p,q)=(-4,8,-2,2)[/inlmath], pa je traženi polinom jednak [inlmath]P(x)=x^2-4x^3+8x^2-8x+4[/inlmath], a pošto će njegov oblik [inlmath]P(x)=\left(x^2+px+q\right)^2[/inlmath] sada glasiti [inlmath]P(x)=\left(x^2-2x+2\right)^2[/inlmath], njegove dvostruke nule se mogu odrediti rešavanjem kvadratne jednačine [inlmath]x^2-2x+2=0[/inlmath] i one iznose [inlmath]1\pm i[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain