Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Dokazati konvergenciju niza

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Dokazati konvergenciju niza

Postod pecke91 » Ponedeljak, 08. Januar 2018, 02:29

Ako moze pomoc oko ovog zadatka u pitanju je matematika 2 za tehnicki fakultet :D, dokazati konvergenciju [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/inlmath]
pecke91  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Dokazati konvergenciju niza

Postod Daniel » Ponedeljak, 08. Januar 2018, 06:06

Pretpostavljam da treba da piše [inlmath]\lim\limits_{{\color{red}n}\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/inlmath].

Pogledaj temu o karakterističnim limesima, 2. limes po redu.

Zamolio bih te da ubuduće obratiš pažnju na tačku 6. Pravilnika.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3795 puta
Pohvaljen: 3953 puta

  • +1

Re: Dokazati konvergenciju niza

Postod pecke91 » Utorak, 09. Januar 2018, 05:37

ok nisam skontao sta znaci propratni :?: :think1: komentar

nisam mi palo napamet da trazim neke bitne limese :roll:

evo resenja koje ja posedujem

Izaberemo [inlmath]n_0[/inlmath] tako da je [inlmath]\frac{a}{n_0}\le\frac{1}{2}[/inlmath]

tada je [inlmath]\frac{a}{n}<\frac{1}{2}[/inlmath] za [inlmath]n>n_0[/inlmath] i
[dispmath]0<\frac{a^n}{n!}=\frac{a^{n_0}a^{n-n_0}}{n_0!(n_0+1)\cdots n}<\frac{a^{n_0}}{n_0!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-n_0}[/dispmath] Kako je, na osnovu primera [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0[/inlmath], [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n_0}{n_0!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-n_0}=0[/inlmath], a na osnovu teoreme o ukljestenju sledi tvrdjenje

ovako je kod mene u knjizi, meni je ovo malo konfuzno :unsure: , lakse mi je da ukapiram ovo resenje sto je ovde odradjeno :thumbup:
pecke91  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Dokazati konvergenciju niza

Postod Daniel » Subota, 13. Januar 2018, 00:45

Hvala što si s nama podelio i ovaj način dokazivanja. Dodaću link u temu o karakterističnim limesima. U dokazu jeste preskočeno nekoliko koraka, možda zbog toga i deluje malo konfuzno. Pokušaću da ga objasnim svojim rečima.
Ne moramo izabrati [inlmath]n_0[/inlmath] tako da [inlmath]\frac{a}{n_0}[/inlmath] nužno bude [inlmath]\le\frac{1}{2}[/inlmath], dovoljno je da [inlmath]\frac{a}{n_0}[/inlmath] bude bilo koji broj između nule i jedinice. Označimo taj broj sa [inlmath]b[/inlmath]. Dakle, biramo [inlmath]n_0[/inlmath] tako da bude [inlmath]\frac{a}{n_0}\le b[/inlmath], gde je [inlmath]b\in(0,1)[/inlmath] (ako nekog zbunjuje ovo uopštenje, može slobodno uzeti da je [inlmath]b=\frac{1}{2}[/inlmath]).
Tada [inlmath]\frac{a^n}{n!}[/inlmath] za [inlmath]n>n_0[/inlmath] možemo napisati kao
[dispmath]0<\frac{a^n}{n!}=\frac{a^{n_0}a^{n-n_0}}{n_0!(n_0+1)(n_0+2)\cdots(n-1)\cdot n}=\frac{a^{n_0}}{n_0!}\cdot\underbrace{\frac{a}{n_0+1}\cdot\frac{a}{n_0+2}\cdots\frac{a}{n-1}\cdot\frac{a}{n}}_{(n-n_0)\text{ činilaca}}[/dispmath] Pošto je [inlmath]\frac{a}{n}<b[/inlmath] za [inlmath]n>n_0[/inlmath], to će svaki od činilaca [inlmath]\frac{a}{n_0+1},\frac{a}{n_0+2},\ldots,\frac{a}{n-1},\frac{a}{n}[/inlmath] biti manji od [inlmath]b[/inlmath]. Zato dalje možemo pisati
[dispmath]0<\frac{a^n}{n!}<\frac{a^{n_0}}{n_0!}\cdot\underbrace{b\cdot b\cdots b\cdot b}_{(n-n_0)\text{ činilaca}}=\frac{a^{n_0}}{n_0!}\cdot b^{n-n_0}[/dispmath] Limes ovog izraza za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] biće
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{a^{n_0}}{n_0!}\cdot b^{n-n_0}=\frac{a^{n_0}}{n_0!\cdot b^{n_0}}\lim_{n\to\infty}b^n=0[/dispmath] Zbog toga je bilo bitno [inlmath]b[/inlmath] odabrati tako da bude [inlmath]b\in(0,1)[/inlmath], jer da je [inlmath]b\ge1[/inlmath] tada ne bi bilo [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}b^n=0[/inlmath]. Dakle, mogli smo odabrati da bude [inlmath]b=\frac{1}{2}[/inlmath], ali smo mogli odabrati i da bude [inlmath]b=\frac{1}{3}[/inlmath] ili [inlmath]b=\frac{1}{4}[/inlmath] ili [inlmath]b=\frac{8}{9}[/inlmath] itd., bitno je samo da [inlmath]b[/inlmath] bude između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].

I na kraju, iz sendvič-teoreme (teorema dva policajca, ili kako si ti napisao teorema u uklještenju), sledi da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3795 puta
Pohvaljen: 3953 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 6 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 15. Oktobar 2018, 13:10 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs