Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Najmanja vrednost funkcije (tangens i kotangens)

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Najmanja vrednost funkcije (tangens i kotangens)

Postod Tinker » Nedelja, 21. Januar 2018, 15:40

Zadatak glasi:

Najmanja vrednost funkcije [inlmath]f(x)=(\tan x+\cot x)^2[/inlmath] je:

[inlmath]A)\;2,\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;6,\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;5,\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{D)}\;4,\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;3[/inlmath]

Sada, ja sam razmišljao da pristupim ovom zadatku na nekoliko načina, prvi je bio taj da [inlmath]\cot x[/inlmath] zapišem kao [inlmath]\frac{1}{\tan x}[/inlmath], zatim odredim kvadrat binoma funkcije:
[dispmath]f(x)=\tan^2x+\frac{1}{\tan^2x}+2[/dispmath] Uvedem smenu [inlmath]\tan x=t[/inlmath], zatim dobijam:
[dispmath]f(t)=t^2+\frac{1}{t^2}+2\;\Longrightarrow\;f(t)=t^2+t^{-2}+2[/dispmath] i onda pronađem prvi izvod te funkcije: [inlmath]f'(t)=2t-2t^{-3}[/inlmath], zatim iz toga:
[dispmath]2\left(t-\frac{1}{t^3}\right)=0\;\Longrightarrow\;t^4=1\;\Longrightarrow\;t=1[/dispmath] I na kraju vratim u početnu smenu [inlmath]f(t)=1+1+2=4[/inlmath]

Rešio sam zadatak dok sam kucao ovaj tekst :D Ali me i dalje zanima da li je ovakav način rada ispravan, ili sam slučajno pogodio tačno rešenje?

EDIT: Naravno, zaboravio sam da napomenem da postoji uslov da je [inlmath]x\neq\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath]
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 76
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 32 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Najmanja vrednost funkcije (tangens i kotangens)

Postod bobanex » Nedelja, 21. Januar 2018, 20:19

[dispmath]\left(\text{tg }x+\text{ctg }x\right)^2=\frac{4}{\sin^22x}[/dispmath] Odavde se isto može lako uočiti minimalna vrednost.
Korisnikov avatar
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 464
Lokacija: Požarevac
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 470 puta

  • +1

Re: Najmanja vrednost funkcije (tangens i kotangens)

Postod Daniel » Sreda, 24. Januar 2018, 19:34

Kada se radi preko smene [inlmath]f(x)=t[/inlmath], tada se mora uzeti u obzir kodomen funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] i postaviti uslov da [inlmath]t[/inlmath] pripada tom kodomenu. U ovom slučaju nemaš taj problem, jer je za smenu [inlmath]\text{tg }x=t[/inlmath] kodomen tangensa skup realnih brojeva pa je i [inlmath]t\in\mathbb{R}[/inlmath], ali da si imao npr. smenu [inlmath]\sin x=t[/inlmath], tada bi morao postaviti uslov [inlmath]t\in[-1,1][/inlmath].

Druga stvar, izjednačavanjem prvog izvoda s nulom ti nalaziš samo lokalnu ekstremnu vrednost, u ovom slučaju lokalni mimimum (što takođe treba proveriti nalaženjem drugog izvoda), ali to ti ne garantuje da na nekom delu funkcija neće imati još manju vrednost od tog lokalnog minimuma (npr. ako ima kose asimptote). U principu, tu bi bilo najsigurnije ispitati i nacrtati grafik funkcije, tako da je ipak daleko lakše ovo rešenje koje je bobanex ponudio.

Tinker je napisao:EDIT: Naravno, zaboravio sam da napomenem da postoji uslov da je [inlmath]x\neq\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath]

Zašto?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7361
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3827 puta
Pohvaljen: 3971 puta

Re: Najmanja vrednost funkcije (tangens i kotangens)

Postod Tinker » Četvrtak, 25. Januar 2018, 02:53

Da, nisam razmišljao o tome, svakako hvala obojici na odgovorima :thumbup:

A inače, nisam ni primetio da sam napisao [inlmath]\frac {\pi}{4}[/inlmath] umesto [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], jer tangens uopšte nije definisan na intervalu [inlmath]\frac{\pi}{2} + k\pi[/inlmath] :facepalm:
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 76
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 32 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 14. Decembar 2018, 06:30 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs