Dobar dan svima,
Imam problem sa jos jednim zadatkom (vise sa resenjem) zadatak glasi:
zad. Da li postoje konstante [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] tako da vazi:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{8x^2+6x+2018}-ax-b\right)=0?[/dispmath] Ja sam ovaj zadatak resila na sledeci nacin:
Resenje: Najpre racionalisemo:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{8x^2+6x+2018}-ax-b\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\sqrt{8x^2+6x+2018}+ax+b}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\enclose{circle}{\sqrt{2\left(2x+\frac{3}{4}\right)^2+\left(2018-\frac{9}{16}\right)}}+ax+b}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\enclose{circle}{\sqrt{2\left(2x+\frac{3}{4}\right)^2}}+ax+b}=[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{\left|\sqrt2\left(2x+\frac{3}{4}\right)\right|+ax+b}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(8-a^2\right)+x(6-2ab)+\left(2018-b^2\right)}{-\sqrt22x-\sqrt2\frac{3}{4}+ax+b}[/dispmath] Ukoliko bi stepen u brojiocu bio veci ili jednak od stepena u imeniocu (stepen=najveci stepen broja [inlmath]x[/inlmath]) ne bi bilo jednako [inlmath]0[/inlmath] [inlmath]\;\Longrightarrow\;[/inlmath] stepen u imeniocu je veci od stepena u brojiocu! Znaci
[dispmath]8-a^2=0\;\Longrightarrow\;a=\pm2\sqrt2\\
6-2ab=0\;\Longrightarrow\;b=\pm\frac{2\sqrt2}{6}\\
a-2\sqrt2\ne0\;\Longrightarrow\;a=-2\sqrt2\;\Longrightarrow\;b=-\frac{2\sqrt2}{6}[/dispmath] Stvari za koje nisam sigurna (da je dozvoljeno uraditi) su da li iz prvog 'zaokruzenog' dela smemo preci u drugi 'zaokruzeni' deo.
Druga stvar je vezana za ovaj komentar na kraju kada sam napisala da je jedino moguce da ovaj limes bude [inlmath]0[/inlmath] ako je stepen brojioca[inlmath]<[/inlmath]stepen imenioca. Hvala unapred!
P.S. Izvinjavam se ako je ovaj post mnogo ducak ili konfuzan .Takodje nadam se da je sve dobro postavljeno posto sam prvi put ovde.