Kao što obećah, evo još par načina za dokazivanje ove teoreme.
Preko sličnosti trouglova:Sa [inlmath]D[/inlmath] označimo tačku preseka simetrale ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] i naspramne stranice. Iz temena [inlmath]C[/inlmath] povucimo pravu paralelnu simetrali ugla [inlmath]\alpha[/inlmath], i njen presek s produžetkom stranice [inlmath]AB[/inlmath] označimo sa [inlmath]E[/inlmath]:
- dokaz 1.png (1.54 KiB) Pogledano 3552 puta
Pošto je trougao [inlmath]\triangle CAE[/inlmath] jednakokraki (ovo ostavljam čitaocu da dokaže – nije teško), sledi da je [inlmath]EA=AC=b[/inlmath]. Iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle EBC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] sledi
[dispmath]\frac{CD+DB}{DB}=\frac{EA+AB}{AB}\\
\frac{CD}{DB}+\cancel1=\frac{EA}{AB}+\cancel1\\
\frac{CD}{DB}=\frac{b}{c}[/dispmath]
Još jedan način preko sličnosti:Iz temena [inlmath]B[/inlmath] i iz temena [inlmath]C[/inlmath] povucimo normale na simetralu ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] i preseke tih normala sa simetralom označimo sa [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath], respektivno:
- dokaz 2.png (1.43 KiB) Pogledano 3552 puta
Iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle BPD[/inlmath] i [inlmath]\triangle CQD[/inlmath] sledi [inlmath]\displaystyle\frac{CD}{BD}=\frac{CQ}{BP}[/inlmath], a iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle ABP[/inlmath] i [inlmath]\triangle ACQ[/inlmath] sledi [inlmath]\displaystyle\frac{CQ}{BP}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}[/inlmath]. Iz [inlmath]\displaystyle\frac{CD}{BD}=\frac{CQ}{BP}[/inlmath] i iz [inlmath]\displaystyle\frac{CQ}{BP}=\frac{b}{c}[/inlmath] sledi i [inlmath]\displaystyle\frac{CD}{BD}=\frac{b}{c}[/inlmath].
Preko površina:Kao i u prethodnim dokazima, označimo presek simetrale ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] i naspramne stranice sa [inlmath]D[/inlmath]. Podnožje visine iz temena [inlmath]A[/inlmath] označimo sa [inlmath]E[/inlmath]. Spustimo visine iz [inlmath]D[/inlmath] na stranice [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]AB[/inlmath] i njihova podnožja označimo sa [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath], respektivno:
- dokaz 3.png (1.53 KiB) Pogledano 3552 puta
Površinu trougla [inlmath]\triangle ACD[/inlmath] možemo izraziti preko visine [inlmath]AE[/inlmath] i preko visine [inlmath]DP[/inlmath]. Naravno, obe tako izračunate površine moraju biti jednake:
[dispmath]\frac{1}{2}CD\cdot AE=\frac{1}{2}AC\cdot DP\quad\Longrightarrow\quad\frac{CD}{AC}=\frac{DP}{AE}\tag1[/dispmath] Na isti način, i površinu trougla [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] možemo izraziti preko visine [inlmath]AE[/inlmath] i preko visine [inlmath]DQ[/inlmath]. Izjednačavanjem ovako izračunatih površina, dobijamo:
[dispmath]\frac{1}{2}BD\cdot AE=\frac{1}{2}AB\cdot DQ\quad\Longrightarrow\quad\frac{BD}{AB}=\frac{DQ}{AE}\tag2[/dispmath] Na osnovu [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath], kao i na osnovu činjenice da je [inlmath]DP=DQ[/inlmath] (jer se [inlmath]D[/inlmath], kao tačka simetrale ugla [inlmath]\alpha[/inlmath], nalazi na podjednakoj udaljenosti od stranica [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath]), sledi da je [inlmath]\displaystyle\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}[/inlmath].