Prijemni ispit ETF - 25. jun 2018.
14. zadatak
14. Prva dva člana rastuće geometrijske progresije su rešenja jednačine
[dispmath]\frac{2^{2\cdot\sin x}}{1+2^{2\cdot\sin x}}=1-\frac{3-2^{2\cdot\sin x}}{5-2^{2\cdot\sin x}}[/dispmath] na intervalu [inlmath](0,\pi)[/inlmath]. Ako je zbir ove progresije [inlmath]651\pi[/inlmath], tada je ukupan broj njenih članova jednak:
Tačan odgovor: [inlmath]6[/inlmath]
Evo kako sam ja pokušala da rešim ovaj zadatak:
Uvela sam smenu:
[dispmath]t=2^{2\cdot\sin x}[/dispmath] Dakle,
[dispmath]\frac{t}{1+t}=1-\frac{3-t}{5-t}\\
\frac{t}{1+t}=\frac{2}{5-t}\\
5\cdot t-t^2=2+2\cdot t[/dispmath] Dobijem kvadratnu jednačinu:
[dispmath]t^2-3\cdot t+2=0[/dispmath] Njena rešenja su
[dispmath]t=2\quad\lor\quad t=1[/dispmath]
[dispmath]2^{2\cdot\sin x}=2\\
2\cdot\sin x=1\\
\sin x=\frac{1}{2}[/dispmath] Na intervalu [dispmath](0,\pi)[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{6}[/dispmath]
A drugo rešenje ne spada u dati interval:
[dispmath]2^{2\cdot\sin x}=1\\
2\cdot\sin x=2^0\\
\sin x=0\\
x=\pi\quad\lor\quad0[/dispmath] što su, u stvari, granice intervala.
Međutim, potrebna su mi oba rešenja da bih izračunala količnik niza i odredila broj njegovih članova. Dakle, negde grešim u postupku zacelo.
Da li biste mogli da mi ukažete na tu grešku?
PS Nadam se da nisam previše zabrljala sa Latexom, prvi put ga koristim.