Pozdrav svima, ovako glasi zadatak:
Slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] su nezavisne sa raspodelama
[dispmath]X\colon P\left(X=k\right)=\frac{1}{2^k},\;x=1,2,\ldots\\
Y\colon P\left(Y=k\right)=\frac{2^{k-1}}{3^k},\;k=1,2,\ldots[/dispmath] Pomoću karakterističnih funkcija naći raspodelu za [inlmath]X+Y[/inlmath].
Odredila sam karakterističnu funkciju za [inlmath]X+Y[/inlmath] (ako je sve u redu, jer nemam rešenje zadatka), pa imam problem da odredim raspodelu.
Dobila sam da je
[dispmath]\varphi_X\left(t\right)=\frac{e^{it}}{2}\frac{1}{1-\frac{e^{it}}{2}}\\
\varphi_Y\left(t\right)=\frac{e^{it}}{3}\frac{1}{1-\frac{2e^{it}}{3}}[/dispmath] Pošto su [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] nezavisne slučajne promenljive, tada je [inlmath]\varphi_{X+Y}\left(t\right)=\varphi_X\left(t\right)\varphi_Y\left(t\right)[/inlmath] tj. nakon sređivanja
[dispmath]\varphi_{X+Y}\left(t\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{2^{k-2}}-\frac{2^k}{3^{k-1}}\right)e^{itk}[/dispmath] Ne znam kako iz ovog da dobijem raspodelu, da nema ova [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] na početku, možda bih uzela član sa sumom bez [inlmath]e^{itk}[/inlmath], pa može li neka pomoć?