od ubavic » Subota, 01. Septembar 2018, 20:10
Što se tiče ovoga što je Čorba napisao, dobro je sve, ali je potrebno dokazati još i da je skup [inlmath]U[/inlmath] neprazan. Međutim to je trivijalno, jer nula matrica pripada skupu [inlmath]U[/inlmath].
E sad, iz [inlmath]AM=MD[/inlmath] sledi da je [inlmath]A m_i = \lambda_i m_i[/inlmath] gde je [inlmath]m_i[/inlmath] kolona vektor matrice [inlmath]M[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]m_i[/inlmath] ili sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vrednosti [inlmath]\lambda_i[/inlmath] ili nula vektor. Dakle potprostor [inlmath]U[/inlmath] je generisan matricama:
[dispmath]U_1 = \left[\begin{matrix} v_1 && 0 && 0 && \dots && 0 \end{matrix}\right]\\
U_2= \left[\begin{matrix} 0 && v_2 && 0 && \dots && 0\end{matrix}\right]\\ \\ \vdots\hspace{12em} \\
U_n = \left[\begin{matrix} 0 && 0 && \dots && 0 && v_n \end{matrix}\right][/dispmath]
gde je [inlmath]v_i[/inlmath] [inlmath]i[/inlmath]-ti sopstveni vektor matrice [inlmath]A[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]\dim(U)=n[/inlmath].
rix345 je bio u pravu kada je napisao da se u prostoru [inlmath]U[/inlmath] nalazi mnoštvo singularnih matrica. Razlog ovome je, kao što vidite, činjenica da iz jednakosti [inlmath]AM=MD[/inlmath] ne sledi jednakost [inlmath]M^{-1}AM=D[/inlmath]. Naravno u prostoru [inlmath]U[/inlmath] će se naći i invertibilne matrice [inlmath]P[/inlmath] za koje važi [inlmath]P^{-1}AP=D[/inlmath].
Ilija, tebe je bunilo što si mislio da postoji jedinstvena matrica [inlmath]P[/inlmath] za koju važi [inlmath]P^{-1}AP=D[/inlmath] gde je [inlmath]D[/inlmath] fiksirana dijagonalna matrica sa sopstvenim vrednostima matrice [inlmath]A[/inlmath] na dijagonali. Međutim, ovo nije tačno, jer ni sopstveni vektori nisu u potpunosti određeni, već ih određujemo do na neku multiplikativnu konstantu različitu od nule (prostim rečima rečeno, ako je [inlmath]v_i[/inlmath] sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vrednosti [inlmath]\lambda_i[/inlmath], tada je i [inlmath]av_i[/inlmath] takođe sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vrednosti [inlmath]\lambda_i[/inlmath] za [inlmath]a\neq 0[/inlmath]).
@rix245: Nije mi jasno na šta misliš kad kažeš kanonska baza. Obično onu bazu u kojoj operator ima dijagonalnu (ili barem trougaonu) matricu nazivamo kanonska.
Lep zadatak.