-
+2
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Corba248 za post (ukupno 2):
Akke,
Daniel
Reputacija: 9.09%
od Corba248 » Utorak, 04. Septembar 2018, 22:46
Pošto sam na nekim mestima (doduše malobrojnim) viđao i drugu definiciju određenog Rimanovog integrala od one koju ja znam napisaću je ukratko.
Segment [inlmath][a,b][/inlmath] delimo na konačan skup tačaka [inlmath]P=\left\{x_0,x_1,\ldots,x_n\right\}[/inlmath] takav da je [inlmath]a\equiv x_0<x_1<\cdots<x_n\equiv b[/inlmath]. Na segmentu [inlmath][x_i,x_{i-1}][/inlmath] biramo proizvoljnu tačku [inlmath]\xi_i[/inlmath] ([inlmath]\xi=(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n)[/inlmath] nazivamo istaknute tačke podele [inlmath]P[/inlmath]). Norma podele [inlmath]P[/inlmath] je broj [inlmath]||P||=\max\limits_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1})[/inlmath] tj. maksimalna dužina podsegmenta. Rimanovu (integralnu) sumu funkcije [inlmath]f[/inlmath] na segmentu [inlmath][a,b][/inlmath] smo definisali kao [inlmath]\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})[/inlmath], a ako postoji realan broj [inlmath]I[/inlmath] takav da za svaku podelu [inlmath]P[/inlmath] segmenta [inlmath][a,b][/inlmath] i za svaki izbor istaknutih tačaka [inlmath]\xi[/inlmath] važi
[dispmath]\lim_{||P||\to0}\left(\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\right)=I[/dispmath] onda je realan broj [inlmath]I[/inlmath] Rimanov određeni integral funkcije [inlmath]f[/inlmath] na segmentu [inlmath][a,b][/inlmath].
Funkcija [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] je svakako integrabilna na segmentu [inlmath][-1,2][/inlmath] (jer je neprekidna), pa o samoj integrabilnosti date funkcije ne moramo brinuti. Kako znamo da za svaku podelu datog segmenta moramo dobiti isti rezultat odabraćemo onu koja nam najviše odgovara, a to je ekvidistantna podela tj. dati segment delimo na [inlmath]n[/inlmath] jednakih delova i za [inlmath]\xi_i[/inlmath] biramo krajnje desne tačke tih intervala. Dakle, svaki podsegment je jednak [inlmath]x_i-x_{i-1}=\frac{3}{n}[/inlmath] pa to izlazi ispred sume. Imamo
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n\left(-1+\frac{3i}{n}\right)^2\right)=3[/dispmath]
Ove međukorake ostavljam tebi da uradiš.