od ubavic » Subota, 06. Oktobar 2018, 22:08
Ovaj zadatak nije dobro postavljen. Po teoremi o rangu i defektu za linearni operator [inlmath]\mathcal{A}:V\rightarrow V[/inlmath] važi
[dispmath]\dim\text{Im }\mathcal{A}+\dim \text{Ker }\mathcal{A}=\dim V.[/dispmath]
Međutim, za potprostore koje si ti navela gornja jednakost ne važi (pa prema tome ti potprostori ne mogu biti jezgro i slika nekog operatora).
Ne može ovako kako si krenula. Za proizvoljan vektor [inlmath]v[/inlmath] sa kordinatama [inlmath](x,y,z,k)[/inlmath] važi da je [inlmath]\mathcal{A}(v)=w[/inlmath] gde je [inlmath]w[/inlmath] vektor sa kordinatama [inlmath](a,b,c,d)[/inlmath]. Nama se upravo traži odnos ovih kordinata, a ti si postupila kao da važi [inlmath]x=a[/inlmath], [inlmath]y=b[/inlmath], [inlmath]z=c[/inlmath] i [inlmath]k=d[/inlmath].
Ovaj zadatak se može uraditi ovako: Nađemo prvo jednu bazu [inlmath][e_1, e_2, f_1, f_2][/inlmath] prostora [inlmath]V[/inlmath] koja dopunjava datu bazu [inlmath][e_1, e_2][/inlmath] potprostora [inlmath]\text{Ker } \mathcal{A}[/inlmath], a zatim definišemo [inlmath]\mathcal{A}[/inlmath] kao jedinstveno linearno preslikavnje za koje važi
[dispmath]\mathcal{A}(e_1)=0\\\mathcal{A}(e_1)=0\\\mathcal{A}(f_1)=a\\\mathcal{A}(f_1)=b[/dispmath]
gde su vektori [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] generatori slike (Ovo sam napisao pod pretpostavkom da je [inlmath]\dim\text{Im }\mathcal{A}=\dim \text{Ker }\mathcal{A}=2[/inlmath]. Analogno se rade ostali slučajevi). Primeti da operator [inlmath]\mathcal{A}:V\rightarrow V[/inlmath] nije jedinstveno određen (već baš suprotno, postoji beskonačno operatora koji zadovoljavaju data svojstva).