Baja775 je napisao:1. Kako ste iz
[dispmath](k+1)^{2k}[/dispmath] dobili
[dispmath]\left(1+\frac1k\right)^{2k}[/dispmath]
Prvo, ako može bez persiranja. Iz [inlmath](k+1)^{2k}[/inlmath] nisam dobio [inlmath]\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}[/inlmath], već sam dobio [inlmath]\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}k^{2k}[/inlmath]. A to sam dobio tako što sam iz [inlmath](k+1)[/inlmath] izvukao [inlmath]k[/inlmath] ispred zagrade:
[dispmath](k+1)^{2k}=\left[k\left(1+\frac{1}{k}\right)\right]^{2k}=k^{2k}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}[/dispmath]
Baja775 je napisao:2. Kakav je niz
[dispmath]\left(1+\frac1k\right)^k,\;[2,e][/dispmath] i kako ste dobili da je veci ili jednak [inlmath]4[/inlmath]?
Nigde nisam napisao da je [inlmath]\left(1+\frac{1}{k}\right)^k[/inlmath] veći ili jednak [inlmath]4[/inlmath], ali sam napisao da je [inlmath]\left(1+\frac{1}{k}\right)^{{\color{red}2}k}[/inlmath] veći ili jednak [inlmath]4[/inlmath]:
[dispmath]\left.\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\ge2\quad\right/(\;)^2\\
\Longrightarrow\quad\left[\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right]^2\ge2^2\\
\Longrightarrow\quad\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}\ge4[/dispmath] Što se tiče niza [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath], on je monotono rastući, minimalna vrednost mu je [inlmath]2[/inlmath] (za [inlmath]n=1[/inlmath]), a njegova monotonost se u okviru kursa analize obično dokazuje kada se na predavanju prvi put govori o broju [inlmath]e[/inlmath] (pošto taj niz konvergira upravo ka tom broju). Tom prilikom se dokazuje i da je taj niz uvek strogo manji od [inlmath]3[/inlmath], odakle se zaključuje da on konvergira ka nekoj vrednosti između [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath], tj. da se broj [inlmath]e[/inlmath] nalazi u tom intervalu. Nakon toga, podrazumeva se da je poznato da je niz [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath] monotono rastući i da uzima vrednosti iz intervala [inlmath][2,3)[/inlmath].
Pošto je u ovom zadatku bitno da je niz [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath] monotono rastući (a nije bitno i da je ograničen), ja ću sad izložiti dokaz da je monotono rastući. A ako nekog bude zanimao i dokaz za ograničenost, mogu i njega naknadno pokazati.
Radi dokazivanja monotonosti ovog niza, potrebno je pokazati da važi [inlmath]\frac{a_n}{a_{n-1}}>1[/inlmath].
[dispmath]\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}n}{1+\frac{1}{n-1}}\right)^n=\left(\frac{n-\cancel1+\cancel1}{n-1}\right)\left(\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n-\cancel1+\cancel1}{n-1}}\right)^n=\\
=\left(\frac{n}{n-1}\right)\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^n=\left(\frac{n}{n-1}\right)\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n=\\
=\left(\frac{n}{n-1}\right)\Biggl(1-{n\choose0}\frac{1}{n^2}+{n\choose1}\frac{1}{n^4}-{n\choose2}\frac{1}{n^6}+\cdots+(-1)^n{n\choose n}\frac{1}{n^{2n}}\Biggr)>\\
>\left(\frac{n}{n-1}\right)\Biggl(1-{n\choose0}\frac{1}{n^2}\Biggr)=\left(\frac{n}{n-1}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right)=\left(\frac{n}{n-1}\right)\left(\frac{n-1}{n}\right)=1\\
\Longrightarrow\quad\enclose{box}{\frac{a_n}{a_{n-1}}>1}[/dispmath] čime je dokazano da je niz monotono rastući.
Baja775 je napisao:3. Kada odradim ovo na kraju dobijem
[dispmath]4k^2+2k+1>4k^2+6k+2[/dispmath] sto ne bi trebalo biti tacno
Ne valja ti leva strana, tj. nisi dobro razvio [inlmath]4(k+1)^2[/inlmath]. Ako ispred zagrade imaš četvorku, onda je logično da u razvoju mora i svaki sabirak biti deljiv četvorkom, zar ne?