Ja sam u prethodnom postu zaboravio jednu veoma bitnu stvar da napišem: vrednosti funkcije [inlmath]d[/inlmath] su pozitivni realni brojevi. Dakle [inlmath]d\colon X\times X\rightarrow \mathbb{R}^+_0[/inlmath].
Valjalo bi da napomenem zašto je pojam Košijevog niza koristan. Ako imamo neki niz i želimo da dokažemo da on konvergira po definiciji, tada moramo da uzmemo neku tačku [inlmath]l[/inlmath] i da dokažemo da je [inlmath]l[/inlmath] granična vrednost tog niza. Kod Košijeve definicije to nije slučaj. Mi ne moramo unapred znati šta je [inlmath]l[/inlmath], sasvim su nam dovoljne osobine niza (ako radimo u kompletnom prostoru). U teoriji su česte situacije u kojima se ne može direktno pokazati da neki niz konvergira, ali se zato veoma lako pokaže da je niz Košijev.
Ja mislim da je veoma lepa primena Košijevog kriterijuma
Banahova teorema o fiksnoj tački koja kaže:
Neka je [inlmath](X,d)[/inlmath] kompletan metrički prostor i neka je [inlmath]f\colon X\rightarrow X[/inlmath] funkcija za koju postoji realan broj [inlmath]\lambda\in(0,1)[/inlmath] takav da važi [inlmath]d(f(x),f(y))\le\lambda d(x,y)[/inlmath] za sve [inlmath]x,y\in X[/inlmath]. Tada u [inlmath]X[/inlmath] postoji jedinstvena fiksna tačka funkcije [inlmath]f[/inlmath], odnosno postoji jedinstveno [inlmath]x\in X[/inlmath] takvo da je [inlmath]f(x)=x[/inlmath].Banahov stav o fiksnoj tački se sasvim jednostavno dokazuje, dovoljno je znati šta je kompletan prostor i Košijev niz u njemu. Dokaz možeš pogledati na linku koji sam naveo. Dokaz stava daje metod za aproksimaciju granične vrednosti i ocenu greške, zbog čega se ovaj stav često koristi u numeričkoj matematici (verovatno ćeš ga raditi u nekom trenutku na fakultetu). Sa ovim stavom, možeš pronaći rešenje neke jednačine (ako si u prostoru [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]), rešenje neke diferencijalne jednačine (ako si u prostoru funkcija), itd... Primena je bezbroj. Primeti koliko je ovo sve moćno: na primer, problem rešavanja diferencijalne jednačine (koji je u opštem slučaju nerešiv), sveli smo na laganu primenu Banahovog stava (koji se zaista lako dokazuje) (naravno, ovo je moguće uraditi samo u specifičnim situacijama). Dakle, Košijevi nizovi imaju bitnu primenu.
Otišao sam ja predaleko već, a sada ću još dalje, ali će možda nekoga ko ovo bude čitao zanimati i naredne informacije:
U prostoru racionalnih brojeva [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] možemo definisati [inlmath]p[/inlmath]-adičku apsolutnu vrednost na sledeći način: neka je [inlmath]p[/inlmath] prost broj i neka je [inlmath]m/n[/inlmath] racionalan broj takav da je [inlmath]m=p^am'[/inlmath] i [inlmath]n=p^bn'[/inlmath] gde [inlmath]a,b\in\mathbb{N}_0[/inlmath] i [inlmath]p\not\mid m'[/inlmath] i [inlmath]p\not\mid n'[/inlmath] (dakle "izvukao" sam što veće stepene broja [inlmath]p[/inlmath] iz brojeva [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath]). Tada [inlmath]p[/inlmath]-adičku apsolutnu vrednost broja [inlmath]m/n[/inlmath], u oznaci [inlmath]|m/n|_p[/inlmath] definišemo kao [inlmath]p^{b-a}[/inlmath]. Ovakva apsolutna vrednost u nekom smislu meri koliko je racionalan broj deljiv brojem [inlmath]p[/inlmath].
Kao i kod realnih brojeva, od apsolutne vrednosti mogu napraviti metriku na sledeći način: [inlmath]d(q_1, q_2)=|q_1-q_2|_p[/inlmath] gde su [inlmath]q_1,q_2\in\mathbb{Q}[/inlmath] (potrebno je dokazati da je ovo zaista metrika). Kada se [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] kompletira u odnosu na [inlmath]|\cdot|_p[/inlmath] dobijamo skup
[inlmath]p[/inlmath]-adičkih brojeva. Ovaj skup je ujedno i polje, baš kao i [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], i označava se sa [inlmath]\mathbb{Q}_p[/inlmath]. Veoma je zanimljivo da i na ovom polju možemo vršiti analizu baš kao što to radimo na [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]. Tako možemo uvesti pojmove [inlmath]p[/inlmath]-adičkih neprekidnih funkcija, integrala, Furijeovih redova i transformacija itd... Uz ovako razvijenu teoriju, neke duboke teoreme teorije brojeva koje su prvobitno imale komplikovane dokaze, elegantno se mogu dokazati računanjem nekih Furijeovih transformacija, na primer. Sve se to dobija, a pošli smo samo od Košijevih nizova i kompletiranja polja. Zaista neverovatno!