Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Jednakosti prostora slika i jezgara matrica A i B

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Jednakosti prostora slika i jezgara matrica A i B

Postod Prepotentna Mrkva » Subota, 26. Januar 2019, 22:33

Neka su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] realne kvadratne matrice reda [inlmath]n\times n[/inlmath] i neka [inlmath]0[/inlmath] nije sopstvena vrijednost matrice [inlmath]B[/inlmath]. Za svaku od sljedecih relacija reci da li je tacna ili ne, pa obrazloziti:
a) [inlmath]R(A)=R(AB)[/inlmath]
b) [inlmath]R(A)=R(BA)[/inlmath]
c) [inlmath]N(A)=N(AB)[/inlmath]
d) [inlmath]N(A)=N(BA)[/inlmath]

* [inlmath]R[/inlmath] – prostor slika/kolona (column space)
* [inlmath]N[/inlmath] – prostor jezgra (null space)

Postupkom sam dosao do zakljucaka da su tvrdjenja pod a) i d) tacna, pa je pretpostavka da tvrdjenja pod b) i c) nisu. :?


Postupak pod a)
Neka je [inlmath]\vec{y}\in\mathbb{R}^n[/inlmath] , i neka [inlmath]\vec{y}\in R(AB)\;\Longrightarrow\;AB\cdot\vec{u}=\vec{y}[/inlmath], za neko [inlmath]\vec{u}\in\mathbb{R}^n[/inlmath].
Neka je [inlmath]B\cdot\vec{u}=\vec{x}[/inlmath], tada [inlmath]A\cdot\vec{x}=y[/inlmath], za neko [inlmath]\vec{x}\in\mathbb{R}^n\;\Longrightarrow\;\vec{y}\in R(A)[/inlmath]
[dispmath]R(AB)\subseteq R(A)[/dispmath] Neka je [inlmath]\vec{y}\in\mathbb{R}^n[/inlmath], i neka [inlmath]\vec{y}\in R(A)\;\Longrightarrow\;A\cdot\vec{x}=\vec{y}[/inlmath], za neko [inlmath]\vec{x}\in\mathbb{R}^n[/inlmath].
[inlmath]A\cdot\vec{x}=\vec{y}\\
\Longleftrightarrow\;A\cdot I\cdot\vec{x}=\vec{y}\\
\Longleftrightarrow\;A\cdot BB^{-1}\cdot\vec{x}=\vec{y}[/inlmath]
Neka je [inlmath]B\cdot\vec{u}=\vec{x}[/inlmath], za neko [inlmath]\vec{x}\in\mathbb{R}^n\;\Longrightarrow\;\vec{u}=B^{-1}\cdot\vec{x}[/inlmath].
Tada je
[inlmath]A\cdot B\cdot B^{-1}\cdot\vec{x}=\vec{y}\\
\Longleftrightarrow\;A\cdot B\cdot\vec{u}=\vec{y}\;\Longrightarrow\;\vec{y}\in R(AB)[/inlmath]
[dispmath]R(A)\subseteq R(AB)\\
R(A)=R(AB)[/dispmath]
d)
Neka je [inlmath]\vec{x}\in\mathbb{R}^n[/inlmath], i neka [inlmath]\vec{x}\in N(A)\;\Longrightarrow\;A\cdot\vec{x}=0\\
B\cdot A\cdot\vec{x}=B\cdot0\\
\Longleftrightarrow\;B\cdot A\cdot\vec{x}=0\;\Longrightarrow\;\vec{x}\in N(BA)[/inlmath]
[dispmath]N(A)\subseteq N(BA)[/dispmath] Neka je [inlmath]\vec{x}\in\mathbb{R}^n[/inlmath], i neka [inlmath]\vec{x}\in N(BA)[/inlmath], [inlmath]B\cdot A\cdot\vec{x}=0[/inlmath]. Pomnozimo sa lijeve strane sa [inlmath]B^{-1}[/inlmath] pa dobijamo
[inlmath]B^{-1}\cdot B\cdot A\cdot\vec{x}=0\\
A\cdot\vec{x}=0\;\Longrightarrow\;\vec{x}\in N(A)[/inlmath]
[dispmath]N(BA)\subseteq N(A)\\
N(A)=N(BA)[/dispmath]
Sad me zanima, kako da dokazem da pod b) i c) nije tacno?
Npr. pod c)
Neka je [inlmath]\vec{y}\in\mathbb{R}^n[/inlmath], i neka [inlmath]\vec{y}\in R(AB)\;\Longrightarrow\;BA\cdot\vec{u}=\vec{y}[/inlmath], za neko [inlmath]\vec{u}\in\mathbb{R}^n[/inlmath].
Neka je [inlmath]A\cdot\vec{u}=\vec{x}[/inlmath], tada [inlmath]B\cdot\vec{x}=y[/inlmath], za neko [inlmath]\vec{x}\in\mathbb{R}^n\;\Longrightarrow\;\vec{y}\in R(B)[/inlmath], pa [inlmath]\vec{y}\notin R(A)\\
\Longrightarrow R(BA)\neq R(A)[/inlmath]
Ne znam jel ovo pogresno, ali je bila ista logika rada. Pod c) ne znam kako bi se to moglo zapisati??
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 17. Oktobar 2019, 22:40 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs