Pozdrav, naišao sam na zadatak i nisam uveren u tačnost mojeg rešenja:
Neka je [inlmath]f\colon(-\infty,2\pi)\to\mathbb{R}[/inlmath] definisana sa:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{\sin x}{x^2-\pi^2}, & x\in(-\infty,-\pi)\\
\displaystyle\frac{x}{A}+\text{tg}\left(\frac{x}{4}\right), & x\in(-\pi,2\pi)
\end{cases}[/dispmath] a) Ispitati za koje [inlmath]A\in\mathbb{R}[/inlmath] je funkcija [inlmath]f[/inlmath] neprekidna na [inlmath](-\infty,2\pi)[/inlmath].
b) Ispitati za koje [inlmath]A\in\mathbb{R}[/inlmath] funkcija [inlmath]f[/inlmath] ima prvi izvod na [inlmath](-\infty,2\pi)[/inlmath].
Izracunao sam levi limes preko lopitala i dobio [inlmath]\frac{1}{2\pi}[/inlmath]. Nakon toga resio za desnu stranu i dobio [inlmath]f(-\pi)=\frac{-\pi}{A}-1[/inlmath]. Izjednacavanjem sa levom stranom dobijam da je [inlmath]A=-\frac{2\pi^2}{1+2\pi}[/inlmath], pretpostavio sam da mi je dotle tacno i krenuo sa daljim resavanjem zadatka.
Uradio sam izvod cele funkcije i dobio:
[dispmath]f'(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{\cos x\left(x^2-\pi^2\right)-2x\sin x}{x^2-\pi^2}, & x\in(-\infty,-\pi)\\
\displaystyle\frac{1}{A}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{4}\right)}, & x\in(-\pi,2\pi)
\end{cases}[/dispmath] Ovo mi je bilo cudno jer iako ce mi desni limes dati [inlmath]\frac{1}{A}+\frac{1}{2}[/inlmath], sa leve strane uvrstavanjem [inlmath]\pi[/inlmath] u funkciju dobijam [inlmath]0^2[/inlmath] ispod razlomacke crte. Probao sam i preko formule za [inlmath]\Delta x[/inlmath] ali opet ispod razlomacke dobijam [inlmath]0[/inlmath]. Nisam siguran da li ne postoji [inlmath]A[/inlmath] u kojem funkcija ima prvi izvod ili ja negde gresim?