Pozdrav! Malo je konfuzno tvoje pitanje, ali koliko vidim muči te kako da primeniš "definiciju" simetričnosti relacije u realnoj situaciji.
štime je napisao:Ali, glavna nejasnoća nastaje kada pokušam da dokažem preko tablice istinitosti implikaciju od prvog dela formule da sledi drugi deo formule. Shvatam da pripadaju istom skupu, odnosno relaciji. Ali nikako ne mogu da dobijem implikaciju sličnu ovoj koja je prezentovana u formuli. Koji su mogući scenariji, kada izraz postaje istinit, a kada lažan, pa na osnovu toga dolazi do (identifikovanja) implikacije?
Ne znam na šta misliš. Kako može biti nejasno kada je implikacija tačna, a kada nije? Ispod je prikazana tablica koja će ti to, nadam se, pojasniti.
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|}
p & q & p\,\Longrightarrow\,q\\ \hline
\top & \top & \top\\
\top & \bot & \bot\\
\bot & \top & \top\\
\bot & \bot & \top
\end{array}[/dispmath] Pošto te muči i simetričnost sama po sebi daću ti nekoliko primera relacija, iz kojih se nadam da će ti osobina simetričnosti relacije biti jasnija.
Data je binarna relacija [inlmath]\rho=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}[/inlmath]. Ispitati njene osobine.
Kao što znaš, pored neposrednog nabrajanja uređenih parova, binarnu relaciju možemo predstaviti i grafom relacije, ali i preko tablice.
- graf relacije.png (4.5 KiB) Pogledano 1012 puta
Ako je ova slika ona koja odgovara datoj binarnoj relaciji, tvoje jedino pitanje jeste da li je relacija simetrična. Simetričnost bi važila ako između svaka dva elementa sa slike važi implikacija [inlmath](x,y)\;\Longrightarrow\;(y,x)[/inlmath]. Ako izaberemo [inlmath]1\rho2[/inlmath], treba da proverimo da li sledi [inlmath]2\rho1[/inlmath]. Sa grafa vidimo da oba elementa, i [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], "šalju strelice" jedan ka drugom, te je [inlmath]\tau(1\rho2)=\top[/inlmath] i [inlmath]\tau(2\rho1)=\top[/inlmath]. Prema tome imamo:
[dispmath]1\rho2\;\Longrightarrow\;2\rho1[/dispmath][dispmath]\top\;\Longrightarrow\;\top[/dispmath][dispmath]\top[/dispmath] Rekli bismo da je relacija simetrična, jer je implikacija za ovaj par tačna, ali se to mora proveriti za sve parove! Ako posmatramo [inlmath]3\rho1[/inlmath] (nema uređenog para [inlmath](3,1)[/inlmath], kao ni strelice na grafu) i ako je [inlmath]\tau(3\rho1)=\bot[/inlmath], mora biti i [inlmath]\tau(1\rho3)=\bot[/inlmath] (što je u redu, jer nema uređene dvojke [inlmath](1,3)[/inlmath]) da bi se zadovoljila osobina simetričnosti.
[dispmath]3\rho1\;\Longrightarrow\;1\rho3[/dispmath][dispmath]\bot\;\Longrightarrow\;\bot[/dispmath][dispmath]\top[/dispmath] Prema tome, i ova implikacija je tačna. Znači da u simetričnoj relaciji može biti onih elemenata koji šalju strelicu u oba smera ili ne šalju ni u jednom, a
ne sme biti onih elemenata koji je šalju samo u jednom smeru (ovde tog slučaja nema, jer je relacija simetrična).
Proverimo i poslednji slučaj kada je [inlmath]1\rho1[/inlmath], odnosno što je isto i u "suprotnom smeru" kada je [inlmath]1\rho1[/inlmath]. Mi znamo da uređeni par [inlmath](1,1)[/inlmath] postoji, pa imamo:
[dispmath]1\rho1\;\Longrightarrow\;1\rho1[/dispmath][dispmath]\top\;\Longrightarrow\;\top[/dispmath][dispmath]\top[/dispmath] U svim proverenim slučajevima relacija se pokazala simetrična, pa se daljom proverom pokazuje da za ovu relaciju važi osobina simetričnosti. Sada ću ti dati još jedan primer relacije koja nije ni refleksivna ni antisimetrična ni tranzitivna, već samo simetrična, a koji glasi:
Na skupu [inlmath]A=\{ 0,1,2,3\}[/inlmath] definisana je relacija [inlmath]\rho[/inlmath], takva da važi [inlmath]x\rho y\iff x+y<2[/inlmath]. Napravi tablicu i graf ove relacije i ispitaj njena svojstva.
Ovaj primer ću objasniti preko tablice:
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|c|}
\rho & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline
0 & \color{red}\top & \top & \bot & \bot\\
1 & \top & \color{red}\bot & \bot & \bot\\
2 & \bot & \bot & \color{red}\bot &\bot\\
3 & \bot & \bot & \bot & \color{red}\bot
\end{array}[/dispmath] Iz tablice se relacija pokazuje simetričnom ako su
svi znakovi [inlmath]\top[/inlmath] i [inlmath]\bot[/inlmath] postavljeni simetrično u odnosu na glavnu dijagonalu tabele (označena crvenom bojom). Pošto to jeste slučaj, ova relacija je simetrična. Takođe, to se može proveriti i preko uređenih parova pojedinačno za svaki par. Uzmimo samo jedan par: [inlmath](1\rho2\;\Longrightarrow\;2\rho1)\iff(\bot\;\Longrightarrow\;\bot)\iff \top[/inlmath], a za ostale probaj sam/sama...