Pozdrav! Pre svega je, pre početka rešavanja, potrebno naći skup dopustivih rešenja (pošto postoji koren) pre kvadriranja.
[dispmath]D\colon\sin(2x)\ge0\;\land\;\cos(x)-\sin(x)-1\ge0\tag1[/dispmath] Da ne bi trošio vreme i tražio presek intervala koji daju ove nejednačine, možeš nastaviti zadatak i na kraju ubaciti dobijena rešenja i proveriti da li se dobijaju tačne nejednakosti (te ukoliko je to slučaj, takva rešenja prihvatamo).
Ako pretpostavimo da si tačno transformisao polaznu jednačinu dobivši:
[dispmath]\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0[/dispmath][dispmath]\sin\frac{x}{2}=0\;\lor\;\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=0[/dispmath] onda si pogrešio pri nalaženju rešenja, jer odavde slede rešenja:
[dispmath]{\color{red}\frac{x}{2}=k\pi}\;\lor\;\tan\frac{x}{2}=-1[/dispmath][dispmath]{\color{red}x=2k\pi}\;\lor\;x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/dispmath] Sada ostaje ubaciti ih u nejednakosti [inlmath](1)[/inlmath] i pošto to učiniš videćeš da su oba rešenja prihvatljiva. Ako se traže samo ona rešenja iz intervala [inlmath]\left[-\frac{7\pi}{2},0\right][/inlmath], onda u stvari pokušavaš da vidiš kakvo bi [inlmath]k[/inlmath] trebalo da ti bude na sledeći način
[dispmath]-\frac{7\pi}{2}\le2k\pi\le0[/dispmath][dispmath]-\frac{7}{4}\le k\le0[/dispmath] Pošto je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj, a imamo da je [inlmath]-\frac{7}{4}=-1,75[/inlmath], onda celobrojno [inlmath]k[/inlmath] može imati vrednosti [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath], te rešenja dobijamo za te vrednosti [inlmath]k[/inlmath], a to su [inlmath]x=-2\pi[/inlmath] i [inlmath]x=0[/inlmath]. Sa druge strane, za drugo rešenje jednačine imamo isto da mora biti u intervalu [inlmath]\left[-\frac{7\pi}{2},0\right][/inlmath], te proveravamo kakvo nam [inlmath]k[/inlmath] treba na isti način.
[dispmath]-\frac{7\pi}{2}\le-\frac{\pi}{2}+2k\pi\le0[/dispmath][dispmath]-\frac{7\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\le2k\pi\le\frac{\pi}{2}[/dispmath][dispmath]-3\pi\le2k\pi\le\frac{\pi}{2}[/dispmath][dispmath]-\frac{3}{2}\le k\le\frac{1}{4}[/dispmath][dispmath]-1,5\le k\le0.25[/dispmath] Kao što rekoh, pošto je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj vidimo da su moguće vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] (koje nama trebaju) [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath], što kad se uvrsti u [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] daje rešenja [inlmath]x=-\frac{5\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}[/inlmath]. To bi trebalo da su sva rešenja iz intervala [inlmath]\left[-\frac{7\pi}{2},0\right][/inlmath]. Nalaženje [inlmath]k[/inlmath] na ovaj način je u redu, ali oduzima dosta vremena, te i ja češće posežem za isprobavanjem za [inlmath]k[/inlmath] koje je nula i par brojeva za [inlmath]k[/inlmath] oko nule, sve dok rešenja koja dobijam ne izađu iz zadatog intervala, što smatram bržim i lakšim nego ovako.
Iako sam odgovorio na tvoje pitanje zamolio bih te da mi pojasniš kako si od jednačine:
[dispmath]\sqrt{\sin2x}=\sqrt{\cos x-\sin x-1}\;\Longrightarrow\;\sin2x=\cos x-\sin x-1\tag{*}[/dispmath] dobio jednačinu
[dispmath]\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0\tag{**}[/dispmath] iz koje smo dobili konačna rešenja. Ja sam pokušavao, ali nisam uspeo. Čak sam pokušao iz jednačine [inlmath](**)[/inlmath] da se vratim u [inlmath](*)[/inlmath], ali bezuspešno, jer se malim sređivanjima dobije
[dispmath]\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0\;\Longleftrightarrow\;\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=0\iff[/dispmath][dispmath]\iff2\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=0\iff1-\cos x+\sin x=0[/dispmath] što mi govori da se negde izgubio član [inlmath]\sin2x[/inlmath], sem ako nisam (a daleko od toga da je to nemoguće
) nešto pogrešio u svom razmišljanju.