od Jovan111 » Sreda, 15. Maj 2019, 20:20
Pozdrav! Imaš grešku na samom početku, pošto ne znaš kako da nađeš izvod složene funkcije. Na početku si imao za funkciju:
[dispmath]f(x)=\sqrt[3]{(2x-1)(1-x)^2}\iff f(x)=(2x-1)^\frac{1}{3}(1-x)^\frac{2}{3}[/dispmath] prvi izvod:
[dispmath]f'(x)=\left((2x-1)^\frac{1}{3}\right)'\cdot(1-x)^\frac{2}{3}+(2x-1)^\frac{1}{3}\cdot\left((1-x)^\frac{2}{3}\right)'\tag1[/dispmath] Kada na mestu nepoznate stoji neki "razvijeniji" izraz, onda je to složena funkcija, a njen izvod je: tablični izvod umnožen izvodom izraza koji stoji na mestu nepoznate! Tako imamo za izraze u [inlmath](1)[/inlmath]:
[dispmath]\left((2x-1)^\frac{1}{3}\right)'=\frac{1}{3}\cdot(2x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot{\color{red}(2x-1)'}=\frac{1}{3}(2x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot(2)=\frac{2}{3}(2x-1)^{-\frac{2}{3}}\\
\left((1-x)^\frac{2}{3}\right)'=\frac{2}{3}\cdot(1-x)^{-\frac{1}{3}}\cdot{\color{red}(1-x)'}=\frac{2}{3}\cdot(1-x)^{-\frac{1}{3}}\cdot(-1)=-\frac{2}{3}\cdot(1-x)^{-\frac{1}{3}}[/dispmath]
Dalje ti je lako da središ izraz, ali ću ti priložiti postupak, za slučaj da ne uspeš ili pogrešiš.
[dispmath]f'(x)=\frac{2}{3}(2x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot(1-x)^\frac{2}{3}+(2x-1)^\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\cdot(1-x)^{-\frac{1}{3}}\right)=\\
=\frac{2\sqrt[3]{(1-x)^2}}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2}}-\frac{2\sqrt[3]{2x-1}}{3\sqrt[3]{1-x}}=\frac{2\sqrt[3]{(1-x)^3}-2\sqrt[3]{(2x-1)^3}}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2(1-x)}}=\frac{4-6x}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2(1-x)}}\\
f'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{-3x+2}{\sqrt[3]{(2x-1)^2(1-x)}}[/dispmath]
Takođe, ti si sebi na ovaj način i otežao dolazak do rešenja jer si rešavao izvod kao izvod proizvoda, a nisi morao, jer si mogao transformisati analitički oblik funkcije na sledeći način:
[dispmath]f(x)=\sqrt[3]{(2x-1)(1-x)^2}\iff f(x)=\left((2x-1)(1-x)^2\right)^\frac{1}{3}=\\
=\Bigl((2x-1)\left(1-2x+x^2\right)\Bigr)^\frac{1}{3}=\left(4x-5x^2+2x^3-1\right)^\frac{1}{3}[/dispmath] Sada bi izvod funkcije bilo neuporedivo lakše naći.