Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Rasporedjivanje knjiga na policama

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Moderator: Corba248

Rasporedjivanje knjiga na policama

Postod DraganKese » Četvrtak, 16. Maj 2019, 20:36

Pozdrav svima,
Zadatak glasi: "Na koliko nacina se [inlmath]9[/inlmath] knjiga moze podeliti na [inlmath]3[/inlmath] police tako da na svakoj budu po [inlmath]3[/inlmath] knjige?" Ono sto mi nije jasno u vezi zadatka je kako to da resenje jednostavno nije [inlmath]9![/inlmath] jer se radi o [inlmath]9[/inlmath] razlicitih knjiga i kako je to povezano sa rasporedom na policama. Unapred hvala na odgovoru.
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 17. Maj 2019, 13:27, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latex-tagova
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Rasporedjivanje knjiga na policama

Postod Daniel » Petak, 17. Maj 2019, 13:27

Tekst zadatka nije baš sasvim precizan. Nejasno je da li je bitan redosled knjiga na svakoj od polica ili nije, da li je bitan redosled samih polica itd.
Kako znaš da rezultat nije [inlmath]9!\;[/inlmath]? (Pretpostavljam da tačan rezultat nemaš, čim nam ga nisi napisao.)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7693
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4049 puta
Pohvaljen: 4114 puta

Re: Rasporedjivanje knjiga na policama

Postod DraganKese » Nedelja, 19. Maj 2019, 14:33

Imam samo konacno resenje koje glasi [inlmath]\frac{9!}{(3!)^3}[/inlmath]. Moguce je da tekst zadatka nije dovoljno precizan.
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Rasporedjivanje knjiga na policama

Postod Jovan111 » Nedelja, 19. Maj 2019, 17:38

Pozdrav! Pošto je tekst nedorečen, onda se uz pretpostavku da redosled knjiga, a ni polica nije bitan dolazi do zaključka da se radi o kombinacijama. Odnosno, za prvu policu izabraćemo [inlmath]3[/inlmath] od [inlmath]9[/inlmath] elemenata, za drugu [inlmath]3[/inlmath] od preostalih [inlmath]6[/inlmath] i, na kraju, za treću [inlmath]3[/inlmath] od ostala [inlmath]3[/inlmath] elementa.
[dispmath]{9\choose3}{6\choose3}{3\choose3}=\frac{9!}{3!\cdot6!}\cdot\frac{6!}{3!\cdot3!}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot\cancel{6!}}{3!\cdot\cancel{6!}}\cdot\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot3!}=\frac{9!}{(3!)^3}=1680[/dispmath]


Ipak, da je redosled polica bio bitan, onda bi rezultat umnožili brojem permutacija date [inlmath]3[/inlmath] police, to jest rešenje bi bilo:
[dispmath]\frac{9!}{(3!)^3}\cdot3!=1680\cdot6=10\:080[/dispmath] Takođe, da je redosled knjiga na policama bio bitan, onda ne bi imali kombinacije, već varijacije, ali pošto već imaš rešenje zadatka, ne bih se i time bavio...


Nadam se da sam ispravno rezonovao :think1:
Korisnikov avatar
Moderator
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 156 puta

Re: Rasporedjivanje knjiga na policama

Postod DraganKese » Nedelja, 19. Maj 2019, 19:17

Hvala na odgovorima, sada mi je jasan zadatak.
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 3 puta

  • +1

Re: Rasporedjivanje knjiga na policama

Postod Daniel » Ponedeljak, 20. Maj 2019, 16:10

@DraganKese (a i ostali), kad god imaš kod sebe krajnji rezultat, potrebno je da ga odmah uz zadatak i napišeš, kako to i nalaže tačka 11. Pravilnika. A i bez Pravilnika, valjda je sasvim logično da to treba učiniti.

Jovan111 je napisao:Pošto je tekst nedorečen, onda se uz pretpostavku da redosled knjiga, a ni polica nije bitan dolazi do zaključka da se radi o kombinacijama. Odnosno, za prvu policu izabraćemo [inlmath]3[/inlmath] od [inlmath]9[/inlmath] elemenata, za drugu [inlmath]3[/inlmath] od preostalih [inlmath]6[/inlmath] i, na kraju, za treću [inlmath]3[/inlmath] od ostala [inlmath]3[/inlmath] elementa.
[dispmath]{9\choose3}{6\choose3}{3\choose3}=\frac{9!}{3!\cdot6!}\cdot\frac{6!}{3!\cdot3!}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot\cancel{6!}}{3!\cdot\cancel{6!}}\cdot\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot3!}=\frac{9!}{(3!)^3}=1680[/dispmath]

Ovaj postupak bi se odnosio na pretpostavku da redosled polica jeste bitan. Jer, prvo si birao tri knjige za prvu policu, pa si birao sledeće tri knjige za drugu policu, i preostale tri knjige idu na treću policu.
A ako želimo da dobijemo broj mogućih rasporeda za varijantu u kojoj redosled polica nije bitan, e tada bismo još ovaj rezultat podelili sa [inlmath]3![/inlmath].

Dakle, po rezultatu koji treba da se dobije, [inlmath]\frac{9!}{(3!)^3}[/inlmath], zaključujemo da se u zadatku podrazumevalo da redosled polica jeste bitan, a da redosled knjiga na polici nije bitan. I na ovom primeru se još jednom vidi koliko je važno priložiti krajnji rezultat, jer on kod ovako nejasnog teksta zadatka može otkloniti nedoumicu.
Sada kad znamo šta se tačno traži u zadatku, ovo možemo rešiti i na drugi način – tako što prvo odredimo broj svih permutacija knjiga, a to je [inlmath]9![/inlmath], zatim to podelimo brojem njihovih rasporeda na svakoj od polica (jer rasporedi knjiga po policama nisu bitni), a to je [inlmath]3![/inlmath] za svaku policu, tj. [inlmath](3!)^3[/inlmath] za sve tri police. I time dobijamo rezultat [inlmath]\frac{9!}{(3!)^3}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7693
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4049 puta
Pohvaljen: 4114 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 0 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 18. Septembar 2019, 04:48 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs