od Onomatopeja » Petak, 14. Jun 2019, 14:12
Neka je [inlmath]I[/inlmath] integral od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\pi,[/inlmath] a [inlmath]J[/inlmath] integral od [inlmath]\pi[/inlmath] do [inlmath]2\pi.[/inlmath] Ako u [inlmath]I[/inlmath] uvedemo smenu [inlmath]x=\pi-t,[/inlmath] a u [inlmath]J[/inlmath] smenu [inlmath]x=3\pi-t,[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]\displaystyle I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi \frac{\sin t}{2+|\cos t|}dt[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle J=\frac{3\pi}{2}\int_{\pi}^{2\pi} \frac{\sin t}{2+|\cos t|}dt[/inlmath] (ideja za smenu polazi iz identiteta [inlmath]\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(a+b-x)dx,[/inlmath] koji se dokazuje smenom [inlmath]x=a+b-t[/inlmath]). Sada, ako u [inlmath]J[/inlmath] dodatno uvedemo smenu [inlmath]t=\pi+s,[/inlmath] to dobijamo [inlmath]\displaystyle J=-\frac{3\pi}{2}\int_0^{\pi} \frac{\sin s}{2+|\cos s|}ds,[/inlmath] to jest (posle zamene [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] sa [inlmath]x,[/inlmath] tj. uvodjenja iste promenljive), da je [inlmath]\displaystyle I+J=-\pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{2+|\cos x|}dx = -2\pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{2+\cos x}dx,[/inlmath] odakle se nalazi da je konacna vrednost samo integrala jednaka [inlmath]-2\pi \log(3/2).[/inlmath]