Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

Postod kaca10 » Nedelja, 23. Jun 2019, 20:31

Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2019.
1. zadatak


Ako je [inlmath]i^2=−1[/inlmath], onda je [inlmath]\displaystyle\Biggl(\frac{\sqrt2}{2}\left(\frac{1+3i}{1+i}−1\right)\Biggr)^{2019}[/inlmath] jednak:
[inlmath]A)\;\sqrt2(1+i);\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;2(1−i);\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\frac{−i}{2};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{D)}\;\frac{\sqrt2}{2}(i−1);\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\sqrt2i;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Sredila sam ovo unutar zagrada i dobila:
[dispmath]\left(\frac{\sqrt2}{2}\cdot(i+1)\right)^{2019}[/dispmath] E sad ne znam šta dalje jer ne vidim nikakav šablon kada počnem da dižem stepen od [inlmath](i+1)[/inlmath]. Šta može dalje da se uradi sa ovim?
Poslednji put menjao Daniel dana Nedelja, 23. Jun 2019, 21:07, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje linka ka zadatku; korekcija Latexa
kaca10  OFFLINE
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

Postod miletrans » Nedelja, 23. Jun 2019, 20:51

Zapiši ovaj broj u trigonometrijskom obliku, pa primeni pravilo za stepenovanje ovako zapisanog kompleksnog broja.

Generalno, kad god nam se u kompleksnom broju pojavi [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], odmah treba da nam "miriše" na trigonometrijski oblik.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

Postod kaca10 » Nedelja, 23. Jun 2019, 21:24

Hvala mnogo. :D
kaca10  OFFLINE
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

Postod Daniel » Nedelja, 23. Jun 2019, 21:25

Može i preko trigonometrijskog oblika, ali i te kako se vidi šablon kada se diže stepen od [inlmath](1+i)[/inlmath]:
[inlmath](1+i)^2=2i\\
(1+i)^4=-2^2\\
(1+i)^8=2^4[/inlmath]
Odakle vidimo da je [inlmath](1+i)^{8k}=2^{4k}[/inlmath]. Preostalo je da se [inlmath]2019[/inlmath] napiše kao [inlmath]8\cdot252+3[/inlmath].
Tako da, trigonometrijski oblik nije neophodan, može i na standardni način.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

Postod Pavle2020 » Ponedeljak, 22. Jun 2020, 09:24

Može li neko da pojasni šta se radi sa [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], ovaj deo sa kompleksnim brojem razumem
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

Postod Frank » Ponedeljak, 22. Jun 2020, 09:32

Koliki je modul kompleksnog broja [inlmath]1+i[/inlmath]?
BTW Pretvori dati kompleksan broj u trigonometrijski oblik, kao sto je rečeno u prethodnim postovima, dalje će ti se samo reći.
Frank   ONLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

Postod Frank » Ponedeljak, 22. Jun 2020, 10:02

[dispmath]\left(\frac{\sqrt2}{2}\cdot(i+1)\right)^{2019}=\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)^{2019}=\left(1\cdot\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\right)^{2019}=\\
\cos\frac{2019\cdot\pi}{4}+i\sin\frac{2019\cdot\pi}{4}=\cos\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)=[/dispmath] Mislim da ti dalje neće biti problem. Primeniš adicione formule i to je to. Imaj u vidu periodičnost trigonometrijskih funkcija.
Frank   ONLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

Postod Pavle2020 » Ponedeljak, 22. Jun 2020, 10:12

Razumeo sam, hvala puno :D
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

Postod Daniel » Ponedeljak, 22. Jun 2020, 18:48

Frank je napisao:[dispmath]\cdots=\cos\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)=[/dispmath] Mislim da ti dalje neće biti problem. Primeniš adicione formule i to je to. Imaj u vidu periodičnost trigonometrijskih funkcija.

Čak i nema potrebe za adicionim, upravo zbog periodičnosti:
[dispmath]\cos\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{2016\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\left(504\pi+\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(504\pi+\frac{3\pi}{4}\right)=\\
=\cos\left(\frac{3\pi}{4}+252\cdot2\pi\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}+252\cdot2\pi\right)=\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\cdots[/dispmath]


Još jedan način je da broj [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}\cdot(i+1)[/inlmath] napišemo i u eksponencijalnom obliku, pri čemu vidimo da mu je moduo jednak [inlmath]1[/inlmath] (jer je moduo broja [inlmath]i+1[/inlmath] jednak [inlmath]\sqrt2[/inlmath], pa to pomoženo sa [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] daje [inlmath]1[/inlmath]) – to dosta pojednostavljuje stepenovanje. Argument je, naravno, [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]:
[dispmath]\left(\frac{\sqrt2}{2}\cdot(i+1)\right)^{2019}=\left(e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{2019}=\cdots[/dispmath] Ako celobrojne stepene broja [inlmath]z=\frac{\sqrt2}{2}\cdot(i+1)[/inlmath] predstavimo u kompleksnoj ravni,

kompleksni broj.png
kompleksni broj.png (3.09 KiB) Pogledano 1747 puta

videćemo da se svi oni nalaze na jediničnoj kružnici (jediničnoj jer im je svima moduo [inlmath]1[/inlmath]), a ugaono su razmaknuti za po [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]. Na svaki porast eksponenta za [inlmath]8[/inlmath], opiše se pun krug, pa to predstavlja i period.
Samim tim je jasno da i traženi [inlmath]z^{2019}[/inlmath] mora imati neku od ovih osam vrednosti (a koju tačno od njih, određuje se prethodno prikazanim postupcima).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Kompleksni izraz – drugi probni prijemni FON 2019.

Postod miljan1403 » Utorak, 23. Jun 2020, 13:58

Evo još jednog načina:
[dispmath]\left(\frac{\sqrt2}{2}\left(i+1\right)\right)^{2019}=\left(\frac{2^\frac{1}{2}}{2}(i+1)\right)^{2019}=\left(\frac{i+1}{\sqrt2}\right)^{2019}=\\
=\left(\left(\frac{i+1}{\sqrt2}\right)^2\right)^{1009}\cdot\left(\frac{i+1}{\sqrt2}\right)=(i)^{1009}\cdot\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)=\frac{\sqrt2}{2}(i-1)[/dispmath]
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 32 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 19:21 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs