Pozdrav! Napravio si sledeće greške:
Pera je napisao:[dispmath]\lim_{x\to3}\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^2-6x+9}\cdot\frac{\sin(x-3)}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}=\\
\lim_{x\to3}\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^2-6x+9}\cdot\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}[/dispmath]
Limes proizvoda smeš da rastaviš na proizvod limesa tek onda kad znaš da će oba ta limesa postojati. Ovde to nije slučaj. Drugi limes, istina, postoji (vrednost mu je nula), ali prvi limes ne postoji (pokazalo bi se da je jednak beskonačnosti, pozitivnoj ili negativnoj – zavisno od toga s koje strane se približavamo trojci).
Dakle, mora se ipak sve raditi kao jedan limes, bez rastavljanja na proizvod limesa.
Pera je napisao:[dispmath]\lim_{x\to3}\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^2-6x+9}\cdot\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}[/dispmath] Na prvi limes moze da se primeni Lopitalovo pravilo:
[dispmath]\lim_{x\to3}\frac{3x^2-12x+11}{2x-6}\cdot\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}=[/dispmath]
Ne sme ni ovo. Da bi se Lopitalovo pravilo smelo primeniti, mora biti ispunjen uslov da [inlmath]\lim\limits_{x\to3}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/inlmath] postoji. To ovde nije zadovoljeno, jer ako u dobijeni limes, [inlmath]\lim\limits_{x\to3}\frac{3x^2-12x+11}{2x-6}[/inlmath], uvrstiš [inlmath]x=3[/inlmath], videćeš da će on biti oblika [inlmath]\frac{2}{0}[/inlmath], tj. taj limes neće postojati.
Ovo je, zapravo, korak zbog kojeg si dobio dvaput manji rezultat od ispravnog. Da si ispravno sredio taj razlomak (imenilac napisao kao [inlmath](x-3)^2[/inlmath] a zatim uočio da se brojilac može napisati kao [inlmath](x-3)[/inlmath] puta nešto, pri čemu se gornji [inlmath](x-3)[/inlmath] skrati s donjim kvadratom), razlomak bi ispravno glasio [inlmath]\frac{x^2-3x+2}{x-3}[/inlmath], što bi za [inlmath]x\to3[/inlmath] dalo [inlmath]\frac{2}{x-3}[/inlmath], za razliku od [inlmath]\frac{2}{2x-6}[/inlmath] koliko bi se dobilo za tvoj razlomak.
Pera je napisao:[dispmath]\lim_{x\to3}\frac{3x^2-12x+11}{2x-6}\cdot\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}=\\
2\cdot\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{2x-6}\cdot\lim_{x\to3}\frac{1}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}=[/dispmath]
Ovo je takođe „no-no“. Brojilac drugog limesa prebacio si u brojilac prvog limesa (što bi bilo sasvim dozvoljeno da nisi izvršio razdvajanje na proizvod limesa, tada bi pod jednim limesom imao dva razlomka i mogao bi da razmenjuješ njihove brojioce kako želiš).