Pozdrav! Zadatak sa početka teme sam pokušao da uradim na malo drugačiji način (meni logičniji), ali nisam uspeo jer nailazim na izvesne poteškoće. Princip po kojem sam radio zadatak je identičan principu prikazanom u prethodnim postovima (ove teme), samo je "formulacija" malo drugačija.
Jednačina [inlmath]\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x−1}=\sqrt{x^2−1}[/inlmath] je ekvivalentna jednačini [inlmath]\sqrt{(x+1)(4x+5)}-\sqrt{(x+1)(2x-1)}=\sqrt{(x+1)(x-1)}[/inlmath] (kao što je već napisano).
Služeći se implikacijom [inlmath]a\cdot b\ge0\hspace{4mm}\Longrightarrow\hspace{4mm}a\ge0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}b\ge0\hspace{4mm}\lor\hspace{4mm}a\le 0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}b\le0[/inlmath] zadatak sam podelio na dva slučaja:
Prvi slučaj: svi činioci ispod korenova su nenegativni, tj.
[dispmath]x+1\ge0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}4x+5\ge0\hspace2mm\land\hspace{2mm}x-1\ge0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}2x-1\ge0[/dispmath] Presek ovih uslova daje [inlmath]x\ge1[/inlmath]. Pod ovim uslovom početna jednačina se može napisati u obliku
[dispmath]\sqrt{x+1}\sqrt{4x+5}-\sqrt{x+1}\sqrt{2x-1}=\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}[/dispmath]
(sređivanje jednačine mi ne predstavlja problem, tako da taj deo neću pisati).Drugi slučaj: svi činioci ispod korenova su nepozitivni, tj.
[dispmath]x+1\le0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}4x+5\le0\hspace2mm\land\hspace{2mm}x-1\le0\hspace{2mm}\land\hspace{2mm}2x-1\le0[/dispmath] Presek ovih uslova daje [inlmath]x\le-\frac{5}{4}[/inlmath]. Pod ovim uslovom početna jednačina se može napisati u obliku
[dispmath]\sqrt{-x-1}\sqrt{-4x-5}-\sqrt{-x-1}\sqrt{-2x+1}=\sqrt{-x-1}\sqrt{-x+1}[/dispmath] Po mom, definiciono područje početne jednačine je [inlmath]\left(-\infty,-\frac{5}{4}\right]\cup\left[1,+\infty\right)[/inlmath]. Očigledno sam negde izgubio [inlmath]-1[/inlmath] kao jednu od vrednosti za koju je početna jednačina definisana. (kada potkorene veličine posmatram kao kvadratne nejednačine onda mi oblast definisanosti ispadne kako treba, tj. ne gubi se [inlmath]-1[/inlmath]) Gde se potkrala greška i da li je moj postupak uopšte ispravan? Hvala!