sekigan je napisao:Postojanje supremuma i infimuma sledi iz aksiome supremuma (infimuma).
To sledi iz aksiome supremuma, ali samo ako je [inlmath]A[/inlmath] neprazan skup, što nije navedeno u postavci tvog zadatka. Taj uslov nedostaje da bi tvrđenje uopšte bilo tačno....
sekigan je napisao:Pristupio sam ovom zadatku tako što sam uzeo dva slučaja. [inlmath]\sup A[/inlmath] može biti ili tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath] ili izolovana tačka.
sekigan je napisao:Sada sam pročitao u skripti da je, po definiciji, tačka izolovana samo ako postoji okolina za koju je presek te okoline i skupa upravo ta tačka.
Ovde si napravio grešku. Da li važi ova disjunkcija? Po definiciji tačka [inlmath]x[/inlmath] je tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath] ako u svakoj njenoj okolini postoji beskonačno mnogo tačaka skupa [inlmath]A[/inlmath]. Prema tome, ako tačka [inlmath]x[/inlmath] nije tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath], tada ona ima okolinu u kojoj se ne nalaze tačke skupa [inlmath]A[/inlmath] sem eventualno nje same (tj. postoji otvoren skup [inlmath]U[/inlmath] takav da [inlmath]x\in U[/inlmath], i važi [inlmath]A\cap U=\emptyset[/inlmath] ili [inlmath]A\cap U=\left\{x\right\}[/inlmath]).
Ako je [inlmath]\sup A[/inlmath] tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath], tada mu ona i pripada jer je [inlmath]A[/inlmath] po pretpostavci zatvoren. Taj deo dokaza je OK (mada si mogao malo lepše da ga sročiš). Ostaje ti još da proveriš šta se dešava kada [inlmath]\sup A[/inlmath]
nije tačka nagomilavanja? Mala pomoć: to se ne može nikako desiti jer je [inlmath]\sup A[/inlmath] po definiciji
najmanje gornje ograničenje.