slavonija035 je napisao:edit:
ako može kojim slučajem i ovaj zadatak:
izračunaj volumen tijela koje nastaje rotacijom oko osi [inlmath]y[/inlmath] lika omeđenog krivuljama: [inlmath]y^2=x+1,\;x=0,\;y=-2[/inlmath]...
Pošto ovaj lik rotira oko [inlmath]y[/inlmath]-ose, možemo izvršiti inverziju, tako što ćemo svuda [inlmath]x[/inlmath] zameniti sa [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] zameniti sa [inlmath]x[/inlmath] i posmatrati rotaciju tog tela oko [inlmath]x[/inlmath]-ose. Na taj način zapremina dobijenog tela se neće promeniti, a slučaj smo sveli na standardni oblik na koji smo navikli.
Znači,
[inlmath]\begin{array}{l}
x^2=y+1\\
y=0\\
x=-2
\end{array}[/inlmath]
[inlmath]x[/inlmath]-koordinata preseka pravca [inlmath]x=-2[/inlmath] i parabole [inlmath]x^2=y+1[/inlmath] mora biti [inlmath]-2[/inlmath], čim pripada pravcu [inlmath]x=-2[/inlmath]; isto važi i za presek pravca [inlmath]x=-2[/inlmath] i pravca [inlmath]y=0[/inlmath].
[inlmath]x[/inlmath]-koordinata preseka pravca [inlmath]y=0[/inlmath] (tj. [inlmath]x[/inlmath]-ose) i parabole [inlmath]x^2=y+1[/inlmath]:
[dispmath]x^2=0+1\\
x=\pm 1[/dispmath]
- volumen.png (1.58 KiB) Pogledano 625 puta
Sa slike vidimo da granice integraljenja treba da idu od [inlmath]-2[/inlmath] do [inlmath]-1[/inlmath]:
[dispmath]V=\pi\int\limits_{-2}^{-1}f^2\left(x\right)\mathrm dx[/dispmath]
Pošto je parabola predstavljena sa [inlmath]x^2=y+1[/inlmath], odatle će biti [inlmath]f\left(x\right)=y=x^2-1[/inlmath]:
[dispmath]V=\pi\int\limits_{-2}^{-1}\left(x^2-1\right)^2\mathrm dx[/dispmath][dispmath]V=\pi\int\limits_{-2}^{-1}\left(x^4-2x^2+1\right)\mathrm dx[/dispmath][dispmath]V=\pi\left(\int\limits_{-2}^{-1}x^4\mathrm dx-2\int\limits_{-2}^{-1}x^2\mathrm dx+\int\limits_{-2}^{-1}\mathrm dx\right)[/dispmath][dispmath]V=\pi\left(\left.\frac{x^5}{5}\right|_{-2}^{-1}-2\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-2}^{-1}+\left.x\right|_{-2}^{-1}\right)[/dispmath][dispmath]V=\pi\left[\frac{\left(-1\right)^5}{5}-\frac{\left(-2\right)^5}{5}-2\frac{\left(-1\right)^3}{3}+2\frac{\left(-2\right)^3}{3}+\left(-1\right)-\left(-2\right)\right][/dispmath][dispmath]V=\pi\left(\frac{31}{5}-\frac{14}{3}+1\right)[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{V=\frac{38}{15}\pi}[/dispmath]