Pozdrav,
Zadatak glasi: Dokazati da je [inlmath]g(x) = \frac{sinx^2}{\sqrt{x}}[/inlmath] ravnomerno neprekidna funkcija. Očekuje se da koristim tzv. epsilon-delta pristup, tj. funkcija [inlmath]f: D(f) \to \mathbb{C}[/inlmath] se naziva ravnomerno neprekidnom ako važi: [inlmath](\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall y \in D(f))(\forall x \in D(f))\ |x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon[/inlmath]. Pristupio sam problemu tako što sam pokušao da konstruišem rešenje koje bi zadovoljilo prethodno pomenutu defniciju, tj: [inlmath]|f(x) - f(y)| = \left|\frac{sinx^2}{\sqrt{x}} - \frac{siny^2}{\sqrt{y}}\right|= \frac{\left|\sqrt{y}\ \cdot\ sinx^2 - \sqrt{x}\ \cdot\ siny^2\right|} {\sqrt{xy}}[/inlmath]. Pošto je [inlmath]g(x)[/inlmath] jasno neprekidna (radili smo teoremu po kojoj ovo važi), tako da ce biti neprekidna i na intervalu [inlmath][0, 1][/inlmath], pa možemo da primenimo Kantorovu teoremu koja nam kaže da ukoliko je funkcija [inlmath]f: [a, b] \to \mathbb{C}[/inlmath] neprekidna na ograničenom i zatvorenom intervalu [inlmath][a, b][/inlmath] onda je ona i ravnomerno neprekidna. Pošto smo slučaj [inlmath]x, y \in [0, 1][/inlmath] otpisali, možemo smatrati da je [inlmath]x, y > 1[/inlmath] i odatle će i [inlmath]\sqrt{xy} > 1[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{\left|\sqrt{y}\ \cdot\ sinx^2 - \sqrt{x}\ \cdot\ siny^2\right|} {\sqrt{xy}} < \frac{\left|\sqrt{y}\ \cdot\ sinx^2 - \sqrt{x}\ \cdot\ siny^2\right|} {1}[/inlmath]. Ne znam kako da nastavim odavde, ne vidim način kako da uvedem deltu uopšte ovde.