miljan1403 je napisao:[dispmath]{\color{red}\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}<x<\frac{2k\pi}{3}\right)}\quad\land\quad{\color{green}\left(\frac{\pi}{12}+k\pi<x<\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)}[/dispmath]
Ovo crveno je pogrešno zapisano, a zeleno je ispravno.
Iz zapisa [inlmath]\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}<x<\frac{2k\pi}{3}[/inlmath] sledilo bi da je [inlmath]\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}<\frac{2k\pi}{3}[/inlmath], što se odmah vidi da ne može biti tačno.
Osim toga, ne vidim kako se uopšte tu pojavio sabirak [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath]?
[inlmath]\frac{\pi}{12}+k\pi<x<\frac{11\pi}{12}+k\pi[/inlmath] jeste tačan zapis i tačno rešenje nejednačine [inlmath]\cos2x<\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]. Nije bio tačan onaj oblik zapisa koji si prvobitno napisao, [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\;-\frac{\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], jer bi, kao što malopre rekoh, leva granica intervala bila veća od desne, što je nemoguće.
Dakle, kad uočite da vam je u zapisu desna granica manja od leve, onda je potrebno desnoj granici dodati
najmanji potreban broj perioda da ona postane veća od leve granice. Znači, u primeru [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\;-\frac{\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], pošto je desna granica manja od leve, dodajemo joj jednu periodu ([inlmath]\pi[/inlmath]) i proverimo – sada je desna granica postala [inlmath]\frac{11\pi}{12}+k\pi[/inlmath] i veća je od leve, čime smo dobili ispravan zapis. Pogrešno bi samo bilo dodati veći broj perioda od potrebnog, jer bismo time kao rešenje dobili i neke vrednosti unutar jedne periode koje ne spadaju u rešenje.
Umesto ovoga, mogli smo i od leve granice oduzeti najmanji potreban broj perioda da bi ona postala manja od desne granice. Dobili bismo [inlmath]x\in\left(-\frac{11\pi}{12}+k\pi,\;-\frac{\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], što je potpuno isti skup rešenja kao i [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath], zbog periodičnosti, tj. zbog sabirka [inlmath]k\pi[/inlmath].
A da se uopšte ne bi ni desilo da u zapisu dobijete desnu granicu manju od leve, onda prilikom očitavanja trigonometrijske kružnice treba uvek ići u smeru CCW (suprotno kazaljci sata). I kažemo, [inlmath]\cos2x<\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], znači, to počinje da važi počev od [inlmath]2x>\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], idemo dalje kružnicom u CCW smeru, prođemo [inlmath]2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], prođemo [inlmath]2x=\pi+2k\pi[/inlmath], prođemo [inlmath]2x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], čime na kraju stižemo do [inlmath]2x<\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]. Znači, ne do [inlmath]2x<-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] (do kog bismo stigli da smo išli u smeru kazaljke sata), već do [inlmath]2x<\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], tj. fali nam još [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] do punog kruga, tj. do [inlmath]2\pi[/inlmath].
miljan1403 je napisao:I sada se traži presek, zar ne? Ali ja to ne znam kako da uradim, pa ako možeš da mi objasniš.
Rešenje nejednačine [inlmath]\sin3x>0[/inlmath] je [inlmath]x\in\left(\frac{2k\pi}{3},\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}\right)[/inlmath], a rešenje nejednačine [inlmath]\cos2x<\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] je [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath] kako si i napisao. Ucrtavamo to u trigonometrijsku kružnicu. Na sledećoj slici u prvu kružnicu sam ucrtao rešenje [inlmath]x\in\left(\frac{2k\pi}{3},\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}\right)[/inlmath] (plavo), a u drugu [inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi\right)[/inlmath] (žuto).
- ocitavanje kruznice.png (7.31 KiB) Pogledano 764 puta
Pošto imamo konjunkciju, tj. tražimo presek ovih rešenja, posmatramo na kojim intervalima će se obeležene površine prve i druge kružnice preklopiti. Njih sam u trećoj kružnici označio zelenom bojom i one predstavljaju vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje će konjunkcija biti zadovoljena.
Sad treba isto to uraditi i za onu drugu konjunkciju, a zatim naći uniju rešenja jedne i druge konjunkcije (pri čemu ćemo na trigonometrijskim kružnicama posmatrati ne preseke površina kao sada, već njihovu uniju, logično).