primus je napisao:[dispmath]\begin{cases}
\frac{a_1}{1-q}=1,5\\
\frac{a_1^2}{1-q^2}=0,125
\end{cases}[/dispmath] Ako se iz prve jednačine izrazi [inlmath]a_1[/inlmath] preko [inlmath]q[/inlmath] i tako izraženo [inlmath]a_1[/inlmath] uvrsti u drugu jednačinu posle sređivanja dobija se kvadratna jednačina: [inlmath]2,375q^2-4,5q+2,125=0[/inlmath],
Mislim da može i jednostavnije, ako se druga jednačina podeli prvom, čime se dobije [inlmath]\frac{a_1}{1+q}=\frac{1}{12}[/inlmath] (preporučujem da se [inlmath]1,5[/inlmath] i [inlmath]0,125[/inlmath] u startu napišu kao razlomci [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{8}[/inlmath], lakše je), a zatim se prva jednačina podeli ovom novom jednačinom i dobije se [inlmath]\frac{1+q}{1-q}=18[/inlmath], što se svodi na linearnu (i ne pojavljuje se ono rešenje [inlmath]q=1[/inlmath]).
primus je napisao:čija su rešenja [inlmath]q_1=\frac{17}{19}[/inlmath] i [inlmath]q_2=1[/inlmath]. Kako je niz opadajući rešenje [inlmath]q_2[/inlmath] otpada.
[inlmath]q_2[/inlmath] otpada ne samo zbog toga što je niz opadajući, već i zbog uslova nenultog imenioca u jednačinama, koji smo morali postaviti prilikom množenja obe strane tim imeniocima. Ali, čak i ako radimo na taj način, ne moramo doći do kvadratne, ako uočimo šta se može faktorisati i skratiti (uz već pomenut uslov [inlmath]q\ne1[/inlmath], koji je očigledno ispunjen):
[dispmath]\frac{\left(\frac{3}{2}(1-q)\right)^2}{1-q^2}=\frac{1}{8}\\
\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2(1-q)^\cancel2}{\cancel{(1-q)}(1+q)}=\frac{1}{8}\\
\vdots[/dispmath] ...i imamo linearnu.
primus je napisao:Frank je napisao:Ali opet mi nije jasno zasto niz iz teksta zadatka posmatramo kao beskonacnu progresiju?
U slučaju da se radi o konačnom geometrijskom nizu imali bismo dve jednačine sa tri nepoznate, stoga sam pretpostavio da je u pitanju beskonačan niz.
Upravo zbog ovakvih situacija i insistiramo na
preciznom i
kompletnom tekstu zadatka.