Milovan je napisao:[dispmath]e^x=ex^{e-1}[/dispmath]
Jedina rešenja ove jednačine su [inlmath]x=e[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath].
Koliko vidim, do ovih rešenja, zbog transcedentnosti jednačine, možemo doći jedino numerički, ili – nagađanjem...
Evo još jednog načina. Znamo da može biti ili [inlmath]e^\pi<\pi^e[/inlmath] ili [inlmath]e^\pi=\pi^e[/inlmath] ili [inlmath]e^\pi>\pi^e[/inlmath]. Pretpostavimo jedan od ovih slučajeva, recimo, [inlmath]e^\pi<\pi^e[/inlmath], pa ako je pretpostavka tačna to će se i pokazati, a ako dođemo do kontradikcije, znači da pretpostavka nije bila tačna. Znači,[dispmath]e^\pi<\pi^e[/dispmath]Logaritmujemo obe strane:[dispmath]\ln e^\pi<\ln\pi^e[/dispmath][dispmath]\pi<e\ln\pi[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{\ln\pi}<e[/dispmath]Sada posmatramo funkciju[dispmath]f\left(x\right)=\frac{x}{\ln x}[/dispmath]Prvi izvod te funkcije je[dispmath]f\:'\left(x\right)=\left(\frac{x}{\ln x}\right)'=\frac{\ln x-\cancel x\cdot\frac{1}{\cancel x}}{\ln^2 x}=\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}[/dispmath]pa vidimo da jedini ekstrem ova funkcija ima za [inlmath]\ln x=1[/inlmath], tj. za [inlmath]x=e[/inlmath]. Radi određivanja da li je ovo minimum ili maksimum, školski način bi bio da se traži drugi izvod pa da se gleda njegov znak, ali za time nema potrebe, budući da se može videti da ova funkcija nije definisana za [inlmath]\ln x=0[/inlmath], tj. za [inlmath]x=1[/inlmath], da je [inlmath]\lim\limits_{x\to 1^+}f\left(x\right)=+\infty[/inlmath], dok je u intervalu [inlmath]\left(1,+\infty\right)[/inlmath] definisana, neprekidna, diferencijabilna i pozitivna. Pošto je pozitivna, jasno je da u tom intervalu mora biti ograničena s donje strane, a iz ovih ostalih podataka intuitivno je jasno i da, pošto ima samo jednu tačku ekstrema, ta tačka ekstrema mora biti lokalni minimum, koji će predstavljati i minimalnu vrednost funkcije na tom intervalu. Ta minimalna vrednost iznosi [inlmath]f\left(e\right)=\frac{e}{\ln e}=e[/inlmath]. Pošto, dakle, [inlmath]f\left(e\right)[/inlmath] na intervalu [inlmath]\left(1,+\infty\right)[/inlmath] uvek ima vrednost veću od [inlmath]e[/inlmath], osim u tački [inlmath]x=e[/inlmath], znači da će biti i [inlmath]f\left(\pi\right)>e[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{\pi}{\ln\pi}>e[/inlmath], iz čega se vidi da prvobitna pretpostavka, [inlmath]e^\pi<\pi^e[/inlmath], nije tačna, već je tačna nejednakost [inlmath]e^\pi>\pi^e[/inlmath].