Zatvorenost možemo dokazati tako što dokažemo da rezultat primene operacije na dva elementa skupa takođe pripada tom skupu:
[dispmath]\left(x_1+y_1\sqrt 2\right)\cdot\left(x_2+y_2\sqrt 2\right)=\left(x_1x_2+2y_1y_2\right)+\left(x_1y_2+x_2y_1\right)\sqrt 2=x_3+y_3\sqrt 2[/dispmath]
gde je
[dispmath]x_3=x_1x_2+2y_1y_2,\quad y_3=x_1y_2+x_2y_1[/dispmath]
Pošto je proizvod racionalnih brojeva takođe racionalan broj, a [inlmath]x_1[/inlmath], [inlmath]x_2[/inlmath], [inlmath]y_1[/inlmath] i [inlmath]y_2[/inlmath] su racionalni brojevi, sledi da će racionalni brojevi biti i [inlmath]x_1x_2[/inlmath], [inlmath]2y_1y_2[/inlmath], [inlmath]x_1y_2[/inlmath] i [inlmath]x_2y_1[/inlmath].
Pošto je zbir dva racionalna broja takođe racionalan broj, a pokazano je da su brojevi [inlmath]x_1x_2[/inlmath], [inlmath]2y_1y_2[/inlmath], [inlmath]x_1y_2[/inlmath] i [inlmath]x_2y_1[/inlmath] racionalni, biće racionalni i brojevi [inlmath]x_1x_2+2y_1y_2[/inlmath] i [inlmath]x_1y_2+x_2y_1[/inlmath], tj. biće racionalni i brojevi [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]y_3[/inlmath]. Prema tome, broj koji smo dobili množenjem dva broja iz skupa [inlmath]A[/inlmath] biće oblika [inlmath]x_3+y_3\sqrt 2,\;x_3,y_3\in\mathbb{Q}[/inlmath], pa i taj broj pripada skupu [inlmath]A[/inlmath].
Što se tiče inverznog elementa, ja bih ga uradio malo drugačije. U zadatku je dat uslov da je
[dispmath]x^2-2y^2=1[/dispmath]
Rastavimo levu stranu kao razliku kvadrata:
[dispmath]\left(x+y\sqrt 2\right)\cdot\left(x-y\sqrt 2\right)=1[/dispmath]
Odavde se odmah vidi da svaki element skupa [inlmath]A[/inlmath], oblika [inlmath]x+y\sqrt 2[/inlmath], ima svoj inverzni element koji iznosi [inlmath]x-y\sqrt 2[/inlmath], jer množenjem tim inverznim elementom daje [inlmath]x^2-2y^2[/inlmath], što je, prema uslovu zadatka, jednako jedinici, a za jedinicu je Ubavic već pokazao da predstavlja neutralni element ove grupe.
U [inlmath]2.[/inlmath] zadatku me zbunjuje ovaj binomni koeficijent, jesi li siguran da tu treba da stoji binomni koeficijent, a ne, možda, determinanta [inlmath]\left|\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right|[/inlmath]