Vrednost determinante [inlmath]A[/inlmath] si ispravno odredio, s tim da ti ne valja način obeležavanja. Pisao si ovako:
[dispmath]\det A=\left[\begin{matrix}
1 & 1 \\
\frac{2}{3} & 2
\end{matrix}\right]=2-\frac{2}{3}=\frac{6-2}{3}=\left[\frac{4}{3}\right][/dispmath]
a treba ovako:
[dispmath]\det A=\left|\begin{matrix}
1 & 1 \\
\frac{2}{3} & 2
\end{matrix}\right|=2-\frac{2}{3}=\frac{6-2}{3}=\frac{4}{3}[/dispmath]
Znači, kao što već rekoh u prethodnom postu, uglaste zagrade se koriste za označavanje
matrica, a za
determinante se koriste vertikalne crte. Ali, ni za ovaj rezultat, [inlmath]\frac{4}{3}[/inlmath], ne trebaju ti uglaste zagrade, jer to nije matrica, već običan razlomak.
Matricu [inlmath]B[/inlmath] si pisao kao razlomak unutar uglaste zagrade, [inlmath]\left[\frac{4}{8}\right][/inlmath]. To je pogrešno. Treba bez te horizontalne crte, znači, [inlmath]\left[\begin{matrix}
4 \\
8
\end{matrix}\right][/inlmath]. Dakle – razlomak se piše bez uglaste zagrade ali s horizontalnom crtom, a matrica [inlmath]2\times 1[/inlmath] se piše s uglastim zagradama ali bez horizontalne crte.
I u ovom zadatku si pogrešio pri određivanju [inlmath]\mathrm{adj}\:A[/inlmath]. Vidim da te to često zbunjuje. Ili elementima [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] nepotrebno promeniš predznak, ili zaboraviš da im zameniš mesta, ili elementima [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] nepotrebno zameniš mesta, ili zaboraviš da im promeniš predznak. Ali, nikako da „ubodeš“ onu pravu kombinaciju.
A prava kombinacija je ta, da elementima [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] zameniš mesta ali im
ne diraš predznak, a elementima [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] promeniš predznak (minus u plus i obratno) ali im
ne menjaš mesta. Naravno, ovo važi samo za kvadratne matrice drugog reda (dve vrste, dve kolone) kao što je matrica [inlmath]A[/inlmath] u ovom zadatku. Dakle:
[dispmath]\mathrm{adj}\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
d & -b \\
-c & a
\end{matrix}\right][/dispmath]
Kad pogrešno odrediš [inlmath]\mathrm{adj}\:A[/inlmath], onda ne možeš dobiti ni tačnu inverznu matricu [inlmath]A^{-1}[/inlmath], jer je [inlmath]A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\:A}{\det A}[/inlmath].
Ako bismo za trenutak i pretpostavili da je [inlmath]A^{-1}=\left[\begin{matrix}
1 & -1 \\
\frac{2}{3} & 2
\end{matrix}\right][/inlmath] (što nije tačno), ni postupak množenja matrica ti nije ispravan:
[dispmath]X=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix}
1 & -1 \\
\frac{2}{3} & 2
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
4 \\
8
\end{matrix}\right]=\cdots[/dispmath]
Ne mogu baš da razaznam šta dalje piše, ali definitivno se iz toga ne dobija [inlmath]\frac{3}{4}\left[\begin{matrix}
-4 \\
12
\end{matrix}\right][/inlmath], kao što si ti dobio. Matricu [inlmath]2\times 2[/inlmath] množiš matricom [inlmath]2\times 1[/inlmath] ovako:
[dispmath]\left[\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
b_1 \\
b_2
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
a_{11}b_1+a_{12}b_2 \\
a_{21}b_1+a_{22}b_2
\end{matrix}\right][/dispmath]
I, poslednje na šta moram da ti skrenem pažnju, kad si skraćivao razlomke [inlmath]\frac{-12}{4}[/inlmath] i [inlmath]\frac{36}{4}[/inlmath], zašto si ih skraćivao samo sa [inlmath]2[/inlmath], zašto ih nisi odmah skratio sa [inlmath]4[/inlmath], pa da lepo za prvi dobiješ [inlmath]-3[/inlmath], a za drugi [inlmath]9[/inlmath]? Ovako si ostavio rešenja [inlmath]x=\frac{-6}{2}[/inlmath] i [inlmath]y=\frac{18}{2}[/inlmath], umesto da si to lepo podelio i dobio pomenute celobrojne vrednosti... Naravno, to ne bi bila tačna rešenja, zbog netačno određene [inlmath]A^{-1}[/inlmath], kao i grešaka koje su zatim usledile, ali ti samo govorim za princip.
Znači, nađi tačnu adjungovanu matricu [inlmath]\mathrm{adj}\:A[/inlmath], vodi računa da je pravilno izmnožiš matricom [inlmath]B[/inlmath] i dobićeš tačan rezultat, [inlmath]\left[\begin{matrix}
0 \\
4
\end{matrix}\right][/inlmath].