od Daniel » Utorak, 26. Februar 2013, 18:39
OK, budući da već duže vreme nije bilo odgovora na ovaj zadatak, izneo bih i ja svoje razmišljanje. Nije sasvim tačna ni tvrdna da je [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] i to je česta greška koja se pravi, jer većina profesora, nažalost, pogrešno učenicima u školi definiše [inlmath]i[/inlmath]. Naime, broj [inlmath]i[/inlmath] se ne definiše kao [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath], već se definiše kao [inlmath]i^2=-1[/inlmath]. Iz te definicije sledi da [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath] može imati dve vrednosti: [inlmath]\sqrt{-1}=i[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{-1}=-i[/inlmath].
Osim toga, pošto korenovanje u kompleksnom domenu može dati više rešenja (za razliku od korenovanja u realnom domenu koje, po definiciji, daje samo jedno, pozitivno, rešenje), a pošto se ovde radi o kompleksnom domenu, rezultat operacije [inlmath]\sqrt 1[/inlmath] ne bi bio samo [inlmath]1[/inlmath], već bi rezultati bili [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt 1=\sqrt{e^{i\left(0+2k\pi\right)}}=e^{i\frac{0+2k\pi}{2}}=e^{ik\pi}=\pm 1[/dispmath]
Zbog toga, ako bismo i pretpostavili da i u kompleksnom domenu važi [inlmath]\sqrt{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\sqrt{z_1}}{\sqrt{z_2}}[/inlmath], prilikom korenovanja izraza [inlmath]\frac{1}{-1}[/inlmath] morali bismo korenovati i jedinicu u brojiocu (i za nju dobili [inlmath]\pm1[/inlmath]), a ne samo korenovati imenilac.
A što se tiče pomenute jednakosti [inlmath]\sqrt{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\sqrt{z_1}}{\sqrt{z_2}}[/inlmath] koja ne važi u kompleksnom domenu, koliko sam ja dosad uspeo da primetim, ona ne važi samo zato što se i s leve i s desne strane dobija neki skup vrednosti (budući da korenovanje u kompleksnom domenu daje skup rešenja), a relacija jednakosti je definisana samo između pojedinačnih brojeva. Ali, kod ove jednakosti, skup vrednosti s leve strane i skup vrednosti s desne strane uvek imaju iste elemente. Dokaz za ovu tvrdnju bi izgledao ovako:
[dispmath]\sqrt{\frac{z_1}{z_2}}=\sqrt{\frac{\rho_1 e^{i\varphi_1}}{\rho_2 e^{i\varphi_2}}}=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}\cdot\sqrt{\frac{e^{i\varphi_1}}{e^{i\varphi_2}}}=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}\cdot\sqrt{e^{i\left(\varphi_1-\varphi_2\right)}}=[/dispmath][dispmath]=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}\cdot e^{i\frac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}\cdot\frac{e^{i\frac{\varphi_1}{2}}}{e^{i\frac{\varphi_2}{2}}}=\frac{\sqrt{\rho_1}}{\sqrt{\rho_2}}\cdot\frac{\sqrt{e^{i\varphi_1}}}{\sqrt{e^{i\varphi_2}}}=\frac{\sqrt{\rho_1 e^{i\varphi_1}}}{\sqrt{\rho_2 e^{i\varphi_2}}}=\frac{\sqrt{z_1}}{\sqrt{z_2}}[/dispmath]
Zapravo, svaki znak jednakosti unutar ovog postupka morali bismo posmatrati kao relaciju jednakosti između skupova vrednosti, a ne između pojedničanih vrednosti, budući da u svakom koraku figuriše bar jedna operacija korenovanja, koja kao rezultat daje više od jedne vrednosti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain