Pomoću uvjetnih ekstrema odredite maksimalan volumen pravilne četverostrane piramide koja je upisana u kugli radijusa [inlmath]R[/inlmath].- Uvjetni ekstrem funkcije [inlmath]z=f(x,y)[/inlmath] je max ili min te funkcije koji zadovoljava uvjet [inlmath]\rho(x,y)=0[/inlmath]. Postupak za određivanje uvjetnog ekstrema u zadacima ovakvog tipa je sljedeći:
Formirati tzv. Lagrangeovu funkciju [inlmath]L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\cdot\rho(x,y)[/inlmath]. Ovo je ujedno po meni i najteži dio zadatka, tj. najčešće se radi greška pri određivanju [inlmath]\rho(x,y)[/inlmath].
Potom se određuju parcijalne derivacije [inlmath]\frac{\partial L}{\partial x}[/inlmath], [inlmath]\frac{\partial L}{\partial y}[/inlmath], [inlmath]\frac{\partial L}{\partial\lambda}[/inlmath]. Dalje se ide ka dobivanju potrebnih nepoznanica iz jednadžbi. Kada sve nepoznanice postanu poznate, konačno rješenje uvrsti se u traženi volumen.
U ovom slučaju, naš [inlmath]f(x,y)[/inlmath] tj. [inlmath]z[/inlmath] je [inlmath]V=\frac{a^2\cdot h}{3}[/inlmath] i time smo dobili jedan od potrebna dva "dijela" Lagrangeove funkcije koju je na početku zadatka potrebno formirati. Problem mi u ovom slučaju predstavlja drugi dio te funkcije tj. ono što množi [inlmath]\lambda[/inlmath], a to je [inlmath]\rho[/inlmath]. Kako ga pravilno odrediti u zadacima ovakvog tipa i konkretno u ovom primjeru? Imao sam različite varijante ovih zadataka, npr. odrediti volumen stošca upisanog u kuglu i sl. i uvijek se javi isti problem. Kada se formira Lagrange, onda zadatak ide u većini slučajeva glatko.