Gamma je napisao:Poenta je da bi bila bijekcija mora imati isti broj elemenata u skupu [inlmath]A[/inlmath] i skupu [inlmath]B[/inlmath]!
Ako govorimo o skupovima s konačnim brojem elemenata, onda je to tačno, to je potreban uslov. Mada, ne i dovoljan.
Evo kontraprimera:
- kontraprimer.png (1.19 KiB) Pogledano 6618 puta
Iako skupovi [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] imaju isti broj elemenata, funkcija predstavljena na slici nije bijekcija – štaviše, nije ni injekcija, ni surjekcija.
Međutim, može se zaključiti da se kod skupova s jednakim brojem elemenata, ne može desiti da funkcija bude injekcija a da ne bude istovremeno i surjekcija, kao i obratno – da bude surjekcija a da ne bude istovremeno i injekcija. To jest, ako je funkcija ili injektivna ili surjektivna, tada je automatski i ono drugo, tj. tada je bijekcija.
Kod skupova s neprebrojivo mnogo elemenata, kao što su intervali unutar skupa realnih brojeva, prikazao bih grafičko tumačenje (u Dekartovom koordinatnom sistemu) ovoga o čemu je Milovan govorio.
Ako postoji prava paralelna [inlmath]x[/inlmath]-osi data jednačinom [inlmath]y=y_0[/inlmath], gde [inlmath]y_0[/inlmath] pripada kodomenu funkcije, takva da ona seče krivu funkcije u dve ili više tačaka, tada ta funkcija nije injektivna.
Slično tome, ako postoji prava paralelna [inlmath]x[/inlmath]-osi data jednačinom [inlmath]y=y_0[/inlmath], gde [inlmath]y_0[/inlmath] pripada kodomenu funkcije, takva da ona ne seče krivu funkcije ni u jednoj tački, tada ta funkcija nije surjektivna.
Evo primera grafika funkcije koja nije ni injektivna, ni surjektivna:
- funkcija.png (1.21 KiB) Pogledano 6618 puta
Zelenom bojom su predstavljeni intervali na [inlmath]x[/inlmath]- i na [inlmath]y[/inlmath]-osi koji pripadaju domenu, odnosno kodomenu.
Funkcija nije injektivna, jer prava [inlmath]y=a[/inlmath] ([inlmath]a[/inlmath] pripada kodomenu) preseca krivu funkcije u tri tačke. Takođe, nije ni surjektivna, jer prava [inlmath]y=b[/inlmath] ([inlmath]b[/inlmath] pripada kodomenu) ne preseca krivu funkcije ni u jednoj tački.
A evo i primera grafika jedne bijektivne funkcije:
- bijekcija1.png (1.12 KiB) Pogledano 6618 puta
Koju god horizontalnu pravu [inlmath]y=y_0[/inlmath] (gde [inlmath]y_0[/inlmath] pripada kodomenu) da povučemo, ta prava će seći grafik funkcije u jednoj i samo jednoj tački. To znači da je ova funkcija istovremeno i injekcija i surjekcija, tj. da je bijekcija.
Funkcija ne mora biti monotona da bi bila bijekcija. To jest, mora ako je neprekidna. Ali, može biti i prekidna, pri čemu ne mora biti motonona, kao u sledećem primeru:
- bijekcija2.png (1.21 KiB) Pogledano 6618 puta
I za ovu funkciju važi da, koju god horizontalnu pravu [inlmath]y=y_0[/inlmath] (gde [inlmath]y_0[/inlmath] pripada kodomenu) da povučemo, ta prava će seći grafik funkcije u jednoj i samo jednoj tački. Prema tome, i ta funkcija je bijekcija.