Ajd pokušaću još jednom, pa ako ni posle ovoga ne bude jasno, onda nek pokuša neko drugi ko bi to mogao razumljivije da objasni. Ja razumljivije od ovoga ne umem.
Gamma je napisao:Ali opet mi nije jasno, ovo oduzimanje što ide u beskonačnost kako doći do kraja mislim do ovoga [inlmath]a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}[/inlmath]
Pretpostavljam da ti je dovde jasno:
[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\cdots[/inlmath]
E, sad tu uočiš, kao što sam ti u prethodnom postu već napisao, da se ovi izrazi koji se dele sa [inlmath]\left(a-b\right)[/inlmath] menjaju po koracima na sledeći način:
[inlmath]a^n-b^n\\
a^{n-1}b-b^n\\
a^{n-2}b^2-b^n\\
\cdots[/inlmath]
Možemo uočiti pravilnost, da je drugi sabirak uvek isti i iznosi [inlmath]-b^n[/inlmath], dok je u prvom sabirku eksponent kod [inlmath]a[/inlmath] svaki put manji za jedan, a eksponent kod [inlmath]b[/inlmath] svaki put veći za jedan. Pri tome, zbir eksponenta kod [inlmath]a[/inlmath] i eksponenta kod [inlmath]b[/inlmath] uvek iznosi [inlmath]n[/inlmath]. Pa ako se eksponent kod [inlmath]a[/inlmath] svaki put smanjuje za jedan, logično je da će u jednom koraku taj eksponent pasti na, recimo, vrednost [inlmath]2[/inlmath], pa ćemo onda nakon onih preskočenih koraka pisati [inlmath]a^2[/inlmath], a pošto smo konstatovali da zbir eksponenta kod [inlmath]a[/inlmath] i eksponenta kod [inlmath]b[/inlmath] mora biti [inlmath]n[/inlmath], to znači da će eksponent kod [inlmath]b[/inlmath] tada biti [inlmath]n-2[/inlmath]. Znači, pišemo [inlmath]a^2b^{n-2}[/inlmath] i još onaj drugi sabirak koji je uvek isti, [inlmath]-b^n[/inlmath], i to onda daje [inlmath]a^2b^{n-2}-b^n[/inlmath]:
[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}{\color{blue}a^2b^{n-2}-b^n}[/inlmath]
Gamma je napisao:i kako da znam da će ostatak na kraju biti [inlmath]0[/inlmath]?
Tako lepo što ćeš na kraju postupka dobiti nulu kao ostatak. Pokazao sam to. Ali, evo, još postupnije. Dobili smo, dakle, da [inlmath]a^2b^{n-2}-b^n[/inlmath] delimo sa [inlmath]a-b[/inlmath]. U izrazu [inlmath]a^2b^{n-2}-b^n[/inlmath] će se [inlmath]a[/inlmath] sadržati [inlmath]ab^{n-2}[/inlmath] puta, pa u rezultatu, nakon onih tačkica, to i pišemo:
[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots{\color{blue}+ab^{n-2}}\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}a^2b^{n-2}-b^n[/inlmath]
Sada ispod [inlmath]a^2b^{n-2}-b^n[/inlmath] dopisujemo proizvod [inlmath]ab^{n-2}[/inlmath] i [inlmath]a-b[/inlmath], a to je [inlmath]a^2b^{n-2}-ab^{n-1}[/inlmath]:
[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}a^2b^{n-2}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}{\color{blue}\underline{a^2b^{n-2}-ab^{n-1}}}[/inlmath]
To oduzmemo,
[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}a^2b^{n-2}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}\underline{a^2b^{n-2}-ab^{n-1}}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}{\color{blue}ab^{n-1}-b^n}[/inlmath]
Sada [inlmath]ab^{n-1}-b^n[/inlmath] delimo sa [inlmath]a-b[/inlmath]. U izrazu [inlmath]ab^{n-1}-b^n[/inlmath] će se [inlmath]a[/inlmath] sadržati [inlmath]b^{n-1}[/inlmath] puta, pa u rezultatu to i dopisujemo:
[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}{\color{blue}+b^{n-1}}\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}a^2b^{n-2}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}\underline{a^2b^{n-2}-ab^{n-1}}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}ab^{n-1}-b^n[/inlmath]
Sada ispod [inlmath]ab^{n-1}-b^n[/inlmath] dopisujemo proizvod [inlmath]b^{n-1}[/inlmath] i [inlmath]a-b[/inlmath], a to je [inlmath]ab^{n-1}-b^n[/inlmath]:
[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}a^2b^{n-2}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}\underline{a^2b^{n-2}-ab^{n-1}}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}ab^{n-1}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}{\color{blue}\underline{ab^{n-1}-b^n}}[/inlmath]
I, kad to oduzmemo, dobijemo da je ostatak jednak nuli:
[inlmath]\left(a^n-b^n\right):\left(a-b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}\\
\underline{a^n-a^{n-1}b}\\
\phantom{a^n-}a^{n-1}b-b^n\\
\phantom{a^n-}\underline{a^{n-1}b-a^{n-2}b^2}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}a^{n-2}b^2-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-}\vdots\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}a^2b^{n-2}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots}\underline{a^2b^{n-2}-ab^{n-1}}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}ab^{n-1}-b^n\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-}\underline{ab^{n-1}-b^n}\\
\phantom{a^n-a^{n-1}b-\cdots a^2b^{n-2}-ab^{n-1}-}{\color{blue}0}[/inlmath]
Gamma je napisao:Jer kada oduzimam to ide u beskonačnost ostatka uvijek ima nikada da bude [inlmath]0[/inlmath]. Nema ostatka kada uzem konačan broj [inlmath]n[/inlmath] ali govorimo sada u uopštenom slučaju.
Kakva sad odjednom beskonačnost?
[inlmath]n[/inlmath] je neki konačan, prirodan broj.
Toliko od mene, što se ove teme tiče...