Prvo, dobrodošlica na forum i sve pohvale za način na koji postavljaš pitanje.
OK, znači, stigao/la si do koraka
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_{i+1}}{x_i}-1\right)[/dispmath]
Količnik [inlmath]\frac{x_{i+1}}{x_i}[/inlmath] predstavlja količnik geometrijske progresije koju obrazuju apscise deonih tačaka. Možemo ga označiti sa [inlmath]q[/inlmath]:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n\left(q-1\right)[/dispmath]
Pošto [inlmath]q[/inlmath] ne zavisi od brojača [inlmath]i[/inlmath], a samim tim ne zavisi ni [inlmath]\left(q-1\right)[/inlmath], taj faktor može izaći ispred sume:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\left(q-1\right)\sum_{i=1}^n1[/dispmath]
Suma [inlmath]\sum\limits_{i=1}^n1[/inlmath] je, naravno, [inlmath]\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\mbox{ jedinica}}[/inlmath], a to ukupno iznosi [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\left[\left(q-1\right)\cdot n\right]\qquad\left(1\right)[/dispmath]
Potrebno je [inlmath]n[/inlmath] izraziti preko [inlmath]q[/inlmath]. Posmatramo geometrijski niz koji obrazuju apscise deonih tačaka:
[inlmath]x_1=1\\
x_2=q\\
x_3=q^2\\
\vdots\\
x_i=q^{i-1}\\
\vdots\\
x_n=2[/inlmath]
Pošto je [inlmath]x_n=q^{n-1}[/inlmath], a [inlmath]x_n=2[/inlmath], odatle sledi da je [inlmath]q^{n-1}=2[/inlmath]. Odatle je
[dispmath]n=1+\log_q2[/dispmath]
to jest
[dispmath]n=1+\frac{\ln2}{\ln q}[/dispmath]
Uvrstimo to u izraz [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\left[\left(q-1\right)\cdot\left(1+\frac{\ln2}{\ln q}\right)\right]\\
\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{\lambda\to0}\left(q-1+\frac{q-1}{\ln q}\ln2\right)[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\lambda=\max(x_{i+1}-x_i)[/inlmath], sledi [inlmath]\lambda=\max\big(x_i(q-1)\big)[/inlmath], a odatle, pošto je [inlmath]q-1[/inlmath] konstantno u smislu da ne zavisi od [inlmath]i[/inlmath], sledi [inlmath]\lambda=\left(q-1\right)\max\left(x_i\right)[/inlmath]. Znamo da je [inlmath]\max\left(x_i\right)=2[/inlmath] (gornja granica integraljenja), pa je [inlmath]\lambda=2\left(q-1\right)[/inlmath]. Otuda, kada [inlmath]\lambda[/inlmath] teži nuli, [inlmath]q[/inlmath] teži jedinici:
[dispmath]\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{q\to1}\left(q-1+\frac{q-1}{\ln q}\ln2\right)\\
\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\left(\ln2\right)\lim_{q\to1}\frac{q-1}{\ln q}[/dispmath]
Uvođenjem smene [inlmath]q=e^t[/inlmath] limes svodimo na poznat oblik [inlmath]\lim\limits_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}[/inlmath], za koji znamo da iznosi [inlmath]1[/inlmath]. Prema tome,
[dispmath]\enclose{box}{\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}{x}=\ln2}[/dispmath]