Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Bijektivna funkcija

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Bijektivna funkcija

Postod Gamma » Petak, 26. Septembar 2014, 19:18

Pozdrav za sve ako neko moze da mi ovo pojasni iz funkcija?
Znaci ne mogu nikako da skontam bijektivnu funkciju.
Sirjektiva mi je jasna : Funkcija je sirjektivna ako su svi elementi iz skupa [inlmath]A[/inlmath] slike barem jednog elementa iz skupa [inlmath]B[/inlmath].
Injektivna mi je isto jasna: Fukncija je injektivna ako svaki element iz skupa [inlmath]A[/inlmath] ima razlicite slike u skupu [inlmath]B[/inlmath].

Sve ja ovo sebi fino nacrtam skupove povezem i skontam nekako ali bijektivna funkcija me buni ne mogu nikako da skontam kako da je fukcija zajednog sirjektivna i injektivna (tj. mora biti istovremeno da bi bila bijektivna) to me zbunjuje. Gledao sam po wikipediji i po gogleu trazio ali pravoga odgovora nema nikako. Pa eto ako neko moze malo da pojasni ili neka da neki link gdje ovo ima objasnjeno!
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 237 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Bijektivna funkcija

Postod Gamma » Petak, 26. Septembar 2014, 22:27

Mislim da sam skontao.Poenta je da bi bila bijekcija mora imati isti broj elemenata u skupu [inlmath]A[/inlmath] i skupu [inlmath]B[/inlmath]!
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 237 puta

Re: Bijektivna funkcija

Postod Milovan » Petak, 26. Septembar 2014, 23:10

Svaki element kodomena ([inlmath]B[/inlmath]) mora biti slika nekog elementa iz domena ([inlmath]A[/inlmath]) da bi funkcija bila surjektivna.

Da bi funkcija bila injektivna, za svaka dva elementa domena postoje i odgovarajuce dve razlicite slike u kodomenu.

Funkcija koja je bijektivna je i jedno i drugo – i injektivna i surjektivna. Ne znam sto te toliko buni cinjenica da je to moguce istovremeno – znaci, surjektivnost obezbedjuje da svi elementi kodomena budu slika odgovarajuceg elementa iz domena (dakle, da kodomen ne sadrzi elemente koji nisu slika nekog elementa iz domena), a injektivnost cini da svaka dva razlicita elementa domena imaju razlicite slike u kodomenu.

Znaci, imas domen [inlmath]A[/inlmath] i kodomen [inlmath]B[/inlmath]. Bilo koji elemenat [inlmath]B[/inlmath] mora biti slika nekog elementa iz [inlmath]A[/inlmath] (surjektivnost), a svaka dva elementa iz [inlmath]A[/inlmath] daju razlicite slike u [inlmath]B[/inlmath] (injektivnost). Ova dva zahteva nisu protivrecna, i mogu biti ispunjena u isto vreme.

Kako bi ti sve bilo malo jasnije, navescu par primera.

Funkcija [inlmath]\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;f(x)=3x[/inlmath] je recimo surjektivna (za svaku realnu vrednost [inlmath]f(x)[/inlmath] se moze naci [inlmath]x[/inlmath] koje daje takvu sliku). Kako iz [inlmath]x_1\neq x_2[/inlmath] sledi [inlmath]3x_1\neq 3x_2[/inlmath], tj. [inlmath]f(x_1)\neq f(x_2)[/inlmath], onda je funkcija i injektivna. Posto je i injektivna i surjektivna, ova funkcija je bijekcija.

Funkcija [inlmath]\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+,\;f(x)=x^2[/inlmath] je surjektivna – za svaki pozitivan realan broj postoji neko [inlmath]x[/inlmath] koje daje takvu sliku i funkcija je surjektivna. E sad, ovde to [inlmath]x[/inlmath] moze imati dve vrednosti, pa imamo situaciju da dva razlicita elementa domena daju istu sliku u kodomenu (npr. [inlmath]1^2=(-1)^2=1[/inlmath]). Funkcija otuda nije injektivna, a jeste surjektivna.

Funkcija [inlmath]\mathbb{R}^+\to\mathbb{R},\;f(x)=x^2+1[/inlmath] je injektivna, ali nije surjektivna. Naime, za razlicito [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] imamo razlicito [inlmath]f(x_1)[/inlmath] i [inlmath]f(x_2)[/inlmath]. To obezbedjuje injektivnost. Surjektivnost nemamo zato sto ima elemenata kodomena koji nisu slika nijednog elementa domena. Npr. [inlmath]f(x)=-2[/inlmath] nije zadovoljeno ni za jedno realno [inlmath]x[/inlmath].

Funkcija [inlmath]\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;f(x)=\sin x[/inlmath] nije ni surjektivna ni injektivna. Naime, zbog periodicnosti, vise elemenata iz domena ima istu sliku u kodomenu, pa je funkcija neinjektivna. Takodje, kako sinus prima samo vrednosti iz intervala [inlmath][-1,1][/inlmath], postoje elementi kodomena (npr. [inlmath]f(x)=100[/inlmath]) koji nisu slika nijednog elementa domena (jer jednacina [inlmath]\sin x=100[/inlmath] nema realno resenje), i otuda funkcija nije ni surjektivna.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 696 puta

  • +2

Re: Bijektivna funkcija

Postod Daniel » Subota, 27. Septembar 2014, 06:33

Gamma je napisao:Poenta je da bi bila bijekcija mora imati isti broj elemenata u skupu [inlmath]A[/inlmath] i skupu [inlmath]B[/inlmath]!

Ako govorimo o skupovima s konačnim brojem elemenata, onda je to tačno, to je potreban uslov. Mada, ne i dovoljan. :) Evo kontraprimera:

kontraprimer.png
kontraprimer.png (1.19 KiB) Pogledano 3040 puta

Iako skupovi [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] imaju isti broj elemenata, funkcija predstavljena na slici nije bijekcija – štaviše, nije ni injekcija, ni surjekcija.
Međutim, može se zaključiti da se kod skupova s jednakim brojem elemenata, ne može desiti da funkcija bude injekcija a da ne bude istovremeno i surjekcija, kao i obratno – da bude surjekcija a da ne bude istovremeno i injekcija. To jest, ako je funkcija ili injektivna ili surjektivna, tada je automatski i ono drugo, tj. tada je bijekcija.



Kod skupova s neprebrojivo mnogo elemenata, kao što su intervali unutar skupa realnih brojeva, prikazao bih grafičko tumačenje (u Dekartovom koordinatnom sistemu) ovoga o čemu je Milovan govorio.

Ako postoji prava paralelna [inlmath]x[/inlmath]-osi data jednačinom [inlmath]y=y_0[/inlmath], gde [inlmath]y_0[/inlmath] pripada kodomenu funkcije, takva da ona seče krivu funkcije u dve ili više tačaka, tada ta funkcija nije injektivna.

Slično tome, ako postoji prava paralelna [inlmath]x[/inlmath]-osi data jednačinom [inlmath]y=y_0[/inlmath], gde [inlmath]y_0[/inlmath] pripada kodomenu funkcije, takva da ona ne seče krivu funkcije ni u jednoj tački, tada ta funkcija nije surjektivna.

Evo primera grafika funkcije koja nije ni injektivna, ni surjektivna:

funkcija.png
funkcija.png (1.21 KiB) Pogledano 3040 puta

Zelenom bojom su predstavljeni intervali na [inlmath]x[/inlmath]- i na [inlmath]y[/inlmath]-osi koji pripadaju domenu, odnosno kodomenu.

Funkcija nije injektivna, jer prava [inlmath]y=a[/inlmath] ([inlmath]a[/inlmath] pripada kodomenu) preseca krivu funkcije u tri tačke. Takođe, nije ni surjektivna, jer prava [inlmath]y=b[/inlmath] ([inlmath]b[/inlmath] pripada kodomenu) ne preseca krivu funkcije ni u jednoj tački.

A evo i primera grafika jedne bijektivne funkcije:

bijekcija1.png
bijekcija1.png (1.12 KiB) Pogledano 3040 puta

Koju god horizontalnu pravu [inlmath]y=y_0[/inlmath] (gde [inlmath]y_0[/inlmath] pripada kodomenu) da povučemo, ta prava će seći grafik funkcije u jednoj i samo jednoj tački. To znači da je ova funkcija istovremeno i injekcija i surjekcija, tj. da je bijekcija.

Funkcija ne mora biti monotona da bi bila bijekcija. To jest, mora ako je neprekidna. Ali, može biti i prekidna, pri čemu ne mora biti motonona, kao u sledećem primeru:

bijekcija2.png
bijekcija2.png (1.21 KiB) Pogledano 3040 puta

I za ovu funkciju važi da, koju god horizontalnu pravu [inlmath]y=y_0[/inlmath] (gde [inlmath]y_0[/inlmath] pripada kodomenu) da povučemo, ta prava će seći grafik funkcije u jednoj i samo jednoj tački. Prema tome, i ta funkcija je bijekcija.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7457
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3887 puta
Pohvaljen: 3995 puta

Re: Bijektivna funkcija

Postod Gamma » Subota, 27. Septembar 2014, 09:44

Hvala obojici,rastumacili se mi ovo !
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 237 puta

Re: Bijektivna funkcija

Postod Nađa » Utorak, 04. Septembar 2018, 06:37

Za funkciju koje je zadata kao [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath], gde je domen [inlmath]X=\mathbb{R}[/inlmath] kako moze kodomen [inlmath]Y[/inlmath] da bude isto [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], zar ne treba [inlmath]\mathbb{R}^+[/inlmath] da bude s obzirom da svaki original koji moze da bude i pozitivan i negativan slika se samo u pozitivan element iz kodomena.
Pitam ovo, jer mislim da mi je pogresno zapisano u svesci...

Ili zapravo moze [inlmath]Y=\mathbb{R}[/inlmath], samo sto onda funkcija nije ni surjektivna ni injektivna?
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 04. Septembar 2018, 19:11, izmenjena samo jedanput
Razlog: Spajanje dva posta u jedan
Nađa  OFFLINE
 
Postovi: 254
Zahvalio se: 135 puta
Pohvaljen: 91 puta

  • +2

Re: Bijektivna funkcija

Postod Igor » Utorak, 04. Septembar 2018, 15:45

Ja bih prvo dao jednu "ispravku": Kodomen nikako ne može biti [inlmath]\mathbb{R}^+=\{x\in\mathbb{R}:\;x>0\}[/inlmath], jer u tom slučaju za [inlmath]x=0[/inlmath] (a [inlmath]0[/inlmath] je u domenu, svakako), ne bismo imali [inlmath]f(0)=0[/inlmath] u kodomenu [inlmath]\mathbb{R}^+[/inlmath] u koje bi se [inlmath]0[/inlmath] "slikala", pa prakticno ne bismo imali funkciju :D. Ali kodomen može biti [inlmath]\mathbb{R}^+\cup\{0\}[/inlmath].

U svakom slučaju ne bi bila injektivna (bez obzira da li je kodomen [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] ili [inlmath]\mathbb{R}^+\cup\{0\}[/inlmath]), jer jednostavno [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath](-a)[/inlmath] iz domena ([inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath]) se slikaju u jedno te isto [inlmath]f(a)=a^2[/inlmath]. Može da stoji da je kodomen [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], ali u tom slučaju, kao što si i rekla, ne bi bila surjektivna. A da stoji da je kodomen [inlmath]\mathbb{R}^+\cup\{0\}[/inlmath], bila bi surjektivna (ali ne i injektivna). ;)
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 86
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 69 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 20. Mart 2019, 06:55 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs