Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Imaginarna jedinica

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Re: Imaginarna jedinica

Postod Gamma » Četvrtak, 11. Jun 2015, 09:32

I nas je učilo u školi da imaginarna jedinica nije jednoznačno određena. Ta tvoja priča ima i te kako smisla. Sada ko će znati što je Wolfram tretira tako. Možda je u pitanju neka najsavremenija matematika :) Kao što rekoh wolfram tretira izraz [inlmath]\sqrt{-8}\cdot\sqrt{-2}=-4[/inlmath] znači [inlmath]4[/inlmath] se nigdje ne spominje ali baš nigdje. Dok i u našim knjigama u rješenju takođe piše [inlmath]-4[/inlmath]. E sada da li je to neka slučajna štamparska greška ili stvarno su to s razlogom napisali ne znam.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 237 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Imaginarna jedinica

Postod Daniel » Četvrtak, 11. Jun 2015, 12:26

Gamma je napisao:I nas je učilo u školi da imaginarna jedinica nije jednoznačno određena.

Mene bi zaista zanimalo da mi neko ko to tvrdi pokaže koje su to dve ili više tačaka u kompleksnoj ravni koje predstavljaju broj [inlmath]i[/inlmath]. A dok se to ne desi, ja ostajem pri stavu da [inlmath]i[/inlmath] jeste jednoznačno određeno, budući da ja znam samo za jednu takvu tačku u kompleksnoj ravni, a to je tačka [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath].

Gamma je napisao:Kao što rekoh wolfram tretira izraz [inlmath]\sqrt{-8}\cdot\sqrt{-2}=-4[/inlmath] znači [inlmath]4[/inlmath] se nigdje ne spominje ali baš nigdje. Dok i u našim knjigama u rješenju takođe piše [inlmath]-4[/inlmath]. E sada da li je to neka slučajna štamparska greška ili stvarno su to s razlogom napisali ne znam.

U redu, ko god pronađe bilo kakvu grešku u mom prethodnom postu u kojem sam pokazao da [inlmath]\sqrt{-8}\sqrt{-2}[/inlmath] daje dve vrednosti, slobodno nek mi na nju ukaže i biću spreman da preispitam svoje viđenje ovog problema. :)

Evo nađoh jednu temu o tome na forumu mathforum.org, koji važi za prilično relevantan izvor.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7306
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Imaginarna jedinica

Postod Gamma » Četvrtak, 11. Jun 2015, 13:19

Daniel je napisao:Mene bi zaista zanimalo da mi neko ko to tvrdi pokaže koje su to dve ili više tačaka u kompleksnoj ravni koje predstavljaju broj [inlmath]i[/inlmath]. A dok se to ne desi, ja ostajem pri stavu da [inlmath]i[/inlmath] jeste jednoznačno određeno, budući da ja znam samo za jednu takvu tačku u kompleksnoj ravni, a to je tačka [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath].

Kada sam rekao jednoznačno određena mislio sam na predznak a ne na kompleksnu ravan. Tj. jednoznačno je određena imaginarana jedinica ako je [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] a nije kada je [inlmath]i=\pm\sqrt{-1}[/inlmath].
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 237 puta

  • +1

Re: Imaginarna jedinica

Postod Daniel » Petak, 12. Jun 2015, 00:22

Ali, kada predznak imaginarne jedinice ne bi bio jednoznačno određen, tada bi u kompleksnoj ravni imaginarna jedinica bila predstavljena tačkama [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(0,-1\right)[/inlmath], a nije, već je predstavljena samo tačkom [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath]...

Ti verovatno posmatraš analogiju s jednačinom u realnom domenu [inlmath]x^2=1[/inlmath] iz koje dobijamo [inlmath]x=\pm1[/inlmath], tj. [inlmath]x[/inlmath] nije jednoznačno određeno. Ali, ne možeš porediti tu jednačinu i [inlmath]i^2=-1[/inlmath], jer, kao što već napisah, u realnom domenu je kvadratni koren jednoznačno određen, a u kompleksnom nije. Kad imamo [inlmath]i=\pm\sqrt{-1}[/inlmath], tu nam [inlmath]\pm[/inlmath] ne potiče od nejednoznačnosti imaginarne jedinice, već od nejednoznačnosti korena negativnog broja (posmatraj to kao [inlmath]\sqrt{-1}=\pm i[/inlmath]), a kod rešenja realne jednačine, [inlmath]x=\pm1[/inlmath], [inlmath]\pm[/inlmath] potiče od nejednoznačnosti promenljive [inlmath]x[/inlmath].

Uostalom, rešenje realne jednačine [inlmath]x=\pm1[/inlmath] možemo napisati i kao [inlmath]1=\pm x[/inlmath]. Takav zapis bi, matematički gledano, bio sasvim korektan. Možemo li iz toga zaključiti da vrednost broja [inlmath]1[/inlmath] nije jednoznačna? :) Naravno da ne možemo. :) E, podjednako je pogrešno i na osnovu [inlmath]i=\pm\sqrt{-1}[/inlmath] tvrditi da vrednost broja [inlmath]i[/inlmath] nije jednoznačna.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7306
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Imaginarna jedinica

Postod Daniel » Petak, 12. Jun 2015, 00:44

Gamma je napisao:Tj. jednoznačno je određena imaginarana jedinica ako je [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] a nije kada je [inlmath]i=\pm\sqrt{-1}[/inlmath].

Baš naprotiv – ako bi bilo [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath], tada imaginarna jedinica upravo ne bi bila jednoznačno određena, jer [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath] nije jednoznačno određen.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7306
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta

  • +1

Re: Imaginarna jedinica

Postod Gamma » Petak, 12. Jun 2015, 17:11

Samo mi ovo nije jasno. Solidno si ovo pojasnio. Mi u srednjoj školi nismo imali ovakav pristup kompleksnim brojevima.
Daniel je napisao:u realnom domenu je kvadratni koren jednoznačno određen, a u realnom nije.

Valjda treba
u realnom domenu je kvadratni koren jednoznačno određen, a u kompleksnom nije.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 237 puta

Re: Imaginarna jedinica

Postod Daniel » Petak, 12. Jun 2015, 17:13

Naravno, hteo sam da napišem u kompleksnom. Hvala na opažanju, sad ću korigovati.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7306
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3797 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Imaginarna jedinica

Postod Gamma » Petak, 12. Jun 2015, 17:36

Sada ima smisla :mrgreen:
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 237 puta

  • +1

Re: Imaginarna jedinica

Postod Mors » Utorak, 22. Maj 2018, 21:45

Gamma je napisao:Mislim da nema nigdje slična tema. Pa eto, ja ću je otvoriti. Dok sam uzeo da ponovim kompleksne brojeve malo uopšteno naletio sam na ovu zabludu. U dosta knjiga kao i na wolframu tvrdi se za [inlmath]i[/inlmath] da je jednoznačno određen, [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] se tretira kao glavni korijen (principal root) od [inlmath]i^2=-1[/inlmath]. Recimo tako je i slučaj kod korijena pozitivnih realnih brojeva, glavni korijen je uvijek pozitivan. [inlmath]n[/inlmath]-ti korijen je definisan za [inlmath]\forall a\in\mathbb{R}^+\land\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath] i on se tretira kao jedinstven pozitivan broj za koji važi [inlmath]b^n=a[/inlmath].
Evo našao sam ovo objašnjenje za imaginarnu jedinicu koje me je malo zbunilo :o. Pa me interesuje vaše mišljenje o svemu ovome. I moje mišljenje je isto kao na wolframu, ali po ovome drugome mnoge stavri bise zakomplikovale.

S obzirom da postoje tačno dva broja, [inlmath]i[/inlmath] i [inlmath]-i[/inlmath], čiji su kvadrati [inlmath]-1[/inlmath], prirodno je smatrati ih korijenim broja [inlmath]-1[/inlmath]. Šta više , moglo bi se pomisliti da je zgodno da se stavi recimo [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] i [inlmath]-i=-\sqrt{-1}[/inlmath]. Ovo je na žalost neizvodljivo. Nismo u mogućnosti da to jasno obrazložimo. Navodimo samo primjer koji pokazuje do kakvih protivrečnosti bi mogle da dovedu ove definicije.
[dispmath]1=\sqrt{1}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{(-1)(-1)}[/dispmath][dispmath]1=\sqrt{-1}\sqrt{-1}[/dispmath][dispmath]1=i^2[/dispmath][dispmath]1=-1[/dispmath]
Mislim da ovaj dokaz da je [inlmath]1=-1[/inlmath] nema neke velike veze s definicijom imaginarne jedinice. Jer pravilo [inlmath]\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/inlmath] važi samo ako su oba broja pozitivna. Naravno ovaj dokaz nije tačan. Sada ne znam na šta su oni tačno mislili.

Prema tome ne možemo da usvojimo prethodne definicje, već moramo da prihvatimo da izraz [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath] nije jednoznačno određen, već da ima dvije vrijednosti; dakle [inlmath]\sqrt{-1}=\pm i[/inlmath]. Tu nastupa bitna razlika između korijena pozitivnih i negativnih realnih brojeva. Na primjer [inlmath]\sqrt{4}=2[/inlmath], ali [inlmath]\sqrt{-4}=\sqrt{-1}\sqrt{4}=\pm2i[/inlmath]

Ovo iznad je tačno vezano za dobijanje [inlmath]1=-1[/inlmath] odnosno iz pogrešne defincije [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath].
Jeste razlog jer koren nije jednoznačno određen u polju [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath]. Blizu ste bili odgovora zašto i nije koren iz [inlmath]-1[/inlmath].
Zapravo cela gornja definicija opšte poznata koja je netačna proizilazi iz jedne proste činjenice. Naime ne može da se definiše imaginarna jednica [inlmath]i[/inlmath] kao koren iz [inlmath]-1[/inlmath] iz prostog razloga što "nije još" definisana operacija korenovanja u polju kompleksnih brojeva! Jako mnogo ljudi to ne zna i upravo greši, pa u mnogo srednjoškolskih udžbenika a bogami i još nekih knjiga je ta definicija takva kakva je jer je postala uvrežena, ali nije napominjem tačna! Jedino i samo jedino tačno je da je [inlmath]i^2=-1[/inlmath] !
Mors  OFFLINE
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Imaginarna jedinica

Postod maja2062 » Nedelja, 05. Avgust 2018, 14:25

Koren iz [inlmath]-1[/inlmath] je [inlmath]i[/inlmath], nema 2 resenja. Jednacina [inlmath]z^2+1=0[/inlmath] ima 2 resenja [inlmath]z_1=-i[/inlmath], [inlmath]z_2=i[/inlmath].
Poslednji put menjao Daniel dana Nedelja, 05. Avgust 2018, 23:37, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika
Trol u najavi
Trol u najavi
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 20. Oktobar 2018, 02:46 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs