Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Ilija » Utorak, 02. Februar 2016, 16:34

:?: Onda sam ja totalno pogresno shvatio kako se ovaj zadatak radi.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 450 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Daniel » Utorak, 02. Februar 2016, 21:08

Ne, ne... Ispravno si shvatio i ispravno si ga uradio. Nego je štos u tome da imamo jednu situaciju za uslov [inlmath]x>-1[/inlmath] (koji u originalnom zadatku i jeste zadat), a sasvim drugu situaciju kad [inlmath]x[/inlmath] krene da se smanjuje ispod [inlmath]-1[/inlmath] (što bi se desilo kad bismo proširili uslov ovog zadatka).

Za [inlmath]x_0>-1[/inlmath], što je u originalnom zadatku uvek slučaj zbog uslova [inlmath]x>-1[/inlmath], tangenta prolazi kroz [inlmath]I[/inlmath] kvadrant i trougao se nalazi u [inlmath]I[/inlmath] kvadantu. Za [inlmath]x_0\to-1[/inlmath] tangenta teži obliku [inlmath]y=-ex[/inlmath], tj. teži da prođe kroz koordinatni početak, čime bi se trougao skupio u jednu tačku, što znači da tada površina tog trougla teži nuli. Za [inlmath]x_0\to+\infty[/inlmath] (posmatraj grafik funkcije [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath]) tangenta teži da se poklopi s [inlmath]x[/inlmath]-osom, čime površina trougla opet teži nuli. To znači, intuitivno je jasno da površina trougla mora dostići svoj maksimum negde u intervalu [inlmath]x_0\in\left(-1,+\infty\right)[/inlmath].

Dakle, kada bi [inlmath]x_0[/inlmath] dostiglo vrednost [inlmath]-1[/inlmath], imali bismo tangentu kroz koordinatni početak, trougao bi se skupio u tačku, površina bi mu bila nula. Međutim, ako bismo [inlmath]x_0[/inlmath] sad dalje smanjivali, ispod [inlmath]-1[/inlmath], tada bi tangenta prolazila kroz [inlmath]III[/inlmath] kvadrant i imali bismo trougao u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu. Kako [inlmath]x_0\to-\infty[/inlmath], tako bi površina trougla rasla u beskonačnost, te ne bismo mogli govoriti o maksimumu njegove površine.

A evo i kako bi izgleadala zavisnost površine trougla od izabrane tačke [inlmath]x_0[/inlmath]:

Funkcija povrsine.png
Funkcija povrsine.png (1.02 KiB) Pogledano 220 puta

Znači, u originalno postavljenom zadatku posmatramo samo deo od [inlmath]-1[/inlmath] pa nadesno i tu, sasvim očigledno, imamo maksimalnu vrednost (i to onda kada je [inlmath]x_0=1[/inlmath]). Ako bismo posmatrali i deo levo od [inlmath]-1[/inlmath], tada ne bismo mogli govoriti o maksimumalnoj vrednosti, jer tada površina trougla nije ograničena.

Nadam se da sam ti sad ovo malo približio. A ako sam te ipak svime ovime samo bezveze zbunio, onda zaboravi celu ovu priču, sasvim si ispravno uradio zadatak onako kako je originalno postavljen. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8343
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4438 puta
Pohvaljen: 4438 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Ilija » Utorak, 02. Februar 2016, 21:24

Daniel je napisao:Za [inlmath]x_0>1[/inlmath], što je u originalnom zadatku uvek slučaj zbog uslova [inlmath]x>-1[/inlmath]...

Pa kako je onda povrsina maksimalna upravo za [inlmath]x_0=1[/inlmath], ako vazi da je [inlmath]x_0>1[/inlmath]?
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 450 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Daniel » Utorak, 02. Februar 2016, 21:28

Izvinjavam se, htedoh napisati [inlmath]x_0>-1[/inlmath]. Ispraviću.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8343
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4438 puta
Pohvaljen: 4438 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod bole » Utorak, 02. Februar 2016, 21:33

Daniel je napisao:Izvinjavam se, htedoh napisati [inlmath]x_0>-1[/inlmath]. Ispraviću.

zar ne bi trebalo biti [inlmath]x_0=1[/inlmath], a uvijek se na kraju može provjeriti rješenje preko limesa baš zbog ovakvih detalja
bole  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 76
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 29 puta
Pohvaljen: 91 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Ilija » Utorak, 02. Februar 2016, 21:35

Samo da razjasnim...Nama ce funkcija povrsine uvek biti [inlmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/inlmath], ma o kom uslovu se radilo, je l' tako?
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 450 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Daniel » Utorak, 02. Februar 2016, 21:49

Tako je.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8343
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4438 puta
Pohvaljen: 4438 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod bole » Utorak, 02. Februar 2016, 21:55

Funkcija površine ostaje ista u svakom slučaju
p.s. da nisi imao uslova u zadatku [inlmath]x>-1[/inlmath] onda si mogao kad dođeš da je [inlmath]x_0=1[/inlmath] i izračunaš površinu tu istu provjeriti preko limesa [inlmath]\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/inlmath] ili da nacrtaš grafik funkcije površine i vidiš sa njega kako se ponaša kao što je daniel uradio
pps ne sjećam se sad tačno ako ti se desi da funkcija površine ima prekid u nekoj tački da li treba provjeriti i tu tačku, možda nam daniel može to razjasniti treba li i to

preduhitri me daniel sa odgovorom, al da ne brišem sad možda ti drugi dio zatreba nekad
bole  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 76
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 29 puta
Pohvaljen: 91 puta

  • +1

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Onomatopeja » Utorak, 02. Februar 2016, 22:10

Vidim da ste se raspisali, a i ja bih da dam komentar na jedan prethodni deo (koji mi se cini da je ostao malo nedorecen, tj. nije propracen objasnjenjem).

Daniel je napisao:Da vidimo sad za [inlmath]x_0=-2[/inlmath] (što bi bila dozvoljena vrednost ako bi važio uslov [inlmath]x\ge-2[/inlmath]):
[dispmath]P_{\triangle OAB}=\frac{e^{-x_0}\left(x_0+1\right)^2}{2}=\frac{e^2\left(-2+1\right)^2}{2}=\frac{e^2}{2}[/dispmath]
A pošto je [inlmath]\displaystyle\frac{e^2}{2}>\frac{2}{e}[/inlmath], sledi da tada [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath] neće biti maksimum zapremine. :)

Stvar je u tome da ispitivanje preko izvoda nam samo daje lokalne ekstremume unutar same oblasti (tj. bez krajnjih tacaka, interior, kako god). Dakle, u ovom slucaju (za [inlmath]x\ge-2[/inlmath]) preko izvoda se moze naci lokalni ekstremum za [inlmath]x\in(-2,\infty)[/inlmath], ali se onda mora posebno videti i sta se dogadja za krajnju tacku, tj. [inlmath]x=-2[/inlmath], i onda uporediti vrednosti u te dve tacke. Naravno, precutno vidimo da nam se [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^{-x}\left(x+1\right)^2}{2}=0[/inlmath] uklapa u celu pricu.



Slicna je stvar ako imamo zadatak: Naci maksimum funkcije [inlmath]f(x)=x[/inlmath] na [inlmath][1,2][/inlmath].

Resenje (pogresno): Ako potrazimo izvod vidimo [inlmath]f'(x)=1\neq0[/inlmath] za svaku tacku [inlmath]x\in[1,2][/inlmath]. Dakle, funkcija nema ekstremne vrednosti, pa samim tim ni maksimum.

Naravno, crtanjem samog grafika funkcije se ocigledno vidi da je ovo samo resenje pogresno (jer je trebalo posebno proveriti tacke [inlmath]x=1[/inlmath] i [inlmath]x=2[/inlmath] i dobili bismo da je maksimum u tacki [inlmath]x=2[/inlmath] i da je on isto [inlmath]2[/inlmath]). [da napomenem da kad radimo preko izvoda to radimo za [inlmath]x\in(1,2)[/inlmath]]. A kamoli to da nam Vajerstrasova teorema o neprekidnoj funkciji na segmentu (kompaktu) odmah daje da maksimum mora postojati.
 
Postovi: 609
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 583 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Ilija » Utorak, 02. Februar 2016, 22:26

Znaci, sustina je u tome, da ako imamo uslov [inlmath]x\ge-2[/inlmath], treba proveriti i vrednost povrsine za [inlmath]x_0=-2[/inlmath], pored (pogresnog) maksimuma u [inlmath]x_0=1[/inlmath], jer ce za to [inlmath]x_0=-2[/inlmath] povrsina biti veca, odnosno maksimalna u ovom slucaju.

Jesam li dobro ukapirao ovo?
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 450 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 0 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 05. Avgust 2020, 15:26 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs