Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]
  • +1

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod bole » Utorak, 02. Februar 2016, 22:43

da
Uvijek bi trebalo provjeriti za najveću i najmanju dozvoljenu vrijednost iako to rijetko bude objašnjeno, rijetko ko i spomene taj dio, npr. ako je [inlmath]p\le x\le q[/inlmath] provjeriš za [inlmath]x_0=p[/inlmath] i [inlmath]x_0=q[/inlmath] koji mogu uzeti vrijednost [inlmath]+\infty[/inlmath] odnosno [inlmath]-\infty[/inlmath]
bole  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 76
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 29 puta
Pohvaljen: 91 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Daniel » Sreda, 03. Februar 2016, 10:38

Izvinjavam se, ovo mi bilo sinoć promaklo:
bole je napisao:
Daniel je napisao:Izvinjavam se, htedoh napisati [inlmath]x_0>-1[/inlmath]. Ispraviću.

zar ne bi trebalo biti [inlmath]x_0=1[/inlmath], a uvijek se na kraju može provjeriti rješenje preko limesa baš zbog ovakvih detalja

Za [inlmath]x_0=1[/inlmath] se dobije lokalni maksimum, ali poenta onog što sam napisao bila je da će za [inlmath]x_0>-1[/inlmath] tangenta prolaziti kroz [inlmath]I[/inlmath] kvadrant. Osim toga, [inlmath]x_0>-1[/inlmath] uključuje u sebi i mogućnost [inlmath]x_0=1[/inlmath].

bole je napisao:pps ne sjećam se sad tačno ako ti se desi da funkcija površine ima prekid u nekoj tački da li treba provjeriti i tu tačku, možda nam daniel može to razjasniti treba li i to

Teoretski (mada se to u zadacima vrlo retko dešava jer su uglavnom posmatrane funkcije neprekidne i diferencijabilne), može postojati lokalni ekstremum u tački u kojoj prvi izvod nije nula – a to je slučaj kad prvi izvod u toj tački nije definisan – to može biti posledica toga što je sama funkcija u toj tački prekidna, ili je funkcija u toj tački neprekidna ali ne i diferencijabilna (npr. tačka [inlmath]x=0[/inlmath] kod funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\left|x\right|[/inlmath]).



Inače, zašto se za slučaj [inlmath]\displaystyle x\ge-\frac{3}{2}[/inlmath] dobije ista maksimalna površina kao i za originalan slučaj [inlmath]x>-1[/inlmath]? Zato što, kad granicu posmatranog intervala, [inlmath]\displaystyle-\frac{3}{2}[/inlmath], uvrstimo u formulu za površinu, [inlmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/inlmath], dobijemo [inlmath]\displaystyle\frac{e^{\frac{3}{2}}}{8}[/inlmath], a to je manje od prethodno izračunatog lokalnog maksimuma, [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath], čime smo se uverili da je lokalni maksimum [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath] ujedno i maksimalna vrednost površine.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8343
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4438 puta
Pohvaljen: 4438 puta

  • +2

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Daniel » Četvrtak, 04. Februar 2016, 09:48

Evo i animacije (koju napravih uz pomoć odličnog free-programčeta WinGCLC) koja prikazuje kako se oblik, položaj i površina posmatranog trougla (u animaciji obeleženog zeleno) menja s promenom [inlmath]x_0[/inlmath] ([inlmath]x[/inlmath]-koordinate tačke dodira krive [inlmath]e^{-x}[/inlmath] i njene tangente).

tangenta.gif
tangenta.gif (73.19 KiB) Pogledano 102 puta

Kao što rekoh, za [inlmath]x_0>-1[/inlmath] trougao se nalazi u [inlmath]I[/inlmath] kvadrantu (pri čemu za [inlmath]x_0=1[/inlmath] njegova površina dostiže lokalni maksimum), za [inlmath]x_0=-1[/inlmath] trougao se skuplja u tačku (u koordinatnom početku), a kako [inlmath]x_0[/inlmath] ide dalje od [inlmath]-1[/inlmath] ka negativnijim vrednostima, tako se trougao pojavljuje u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu, pri čemu se njegova površina sve više povećava s pomeranjem [inlmath]x_0[/inlmath] ka negativnijim vrednostima.

Za [inlmath]\displaystyle x_0=-\frac{3}{2}[/inlmath] površina trougla (koji je sad u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu) još uvek je manja od onog lokalnog maksimuma koji je površina imala za [inlmath]x_0=1[/inlmath]. Površina trougla će ponovo dostići tu vrednost lokalnog maksimuma koju je imala u [inlmath]x_0=1[/inlmath] (a koja je iznosila [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath]) negde za [inlmath]x_0\approx-1,557[/inlmath] (ovu vrednost nije moguće odrediti analitički već isključivo numerički, budući da predstavlja rešenje transcendentne jednačine [inlmath]\displaystyle\frac{e^{-x_0}\left(x_0+1\right)^2}{2}=\frac{2}{e}[/inlmath]).
Nakon prolaska te vrednosti [inlmath]x_0[/inlmath], površina trougla kreće rapidno da se povećava, tako da će već za [inlmath]x_0=-2[/inlmath] površina trougla biti preko pet puta veća od one njene vrednosti u lokalnom maksimumu ([inlmath]\displaystyle\frac{e^2}{2}[/inlmath] prema [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath]), i daljim odlaskom [inlmath]x_0[/inlmath] ka negativnijim vrednostima površina trougla se sve brže, i neograničeno povećava...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8343
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4438 puta
Pohvaljen: 4438 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Daniel » Petak, 05. Februar 2016, 09:25

OK, ako s ovime nema više nejasnoća, možemo da se vratimo na ovaj deo: :)
Daniel je napisao:Moram da se korigujem – ne uslovi [inlmath]\displaystyle x>-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x>-2[/inlmath], već uslovi [inlmath]\displaystyle x\ge-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x\ge-2[/inlmath]. Ovo je vrlo bitno, možemo posle i to da proanaliziramo zbog čega.

Dakle, zbog čega je bitno da bude znak [inlmath]\ge[/inlmath], a ne znak [inlmath]>[/inlmath]?
Kolike bi bile maksimalne površine trougla kad bismo imali znake stroge nejednakosti, tj. [inlmath]\displaystyle x>-\frac{3}{2}[/inlmath] odnosno [inlmath]\displaystyle x>-2[/inlmath]? :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8343
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4438 puta
Pohvaljen: 4438 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Daniel » Ponedeljak, 08. Februar 2016, 10:07

Pa, prvo, ako bismo imali uslov [inlmath]\displaystyle x>-\frac{3}{2}[/inlmath], tada se ništa ne bi promenilo u odnosu na uslov [inlmath]\displaystyle x\ge-\frac{3}{2}[/inlmath].
To je zbog toga što ni za [inlmath]\displaystyle x_0>-\frac{3}{2}[/inlmath] ni za [inlmath]\displaystyle x_0=-\frac{3}{2}[/inlmath] trougao ne dostiže onu maksimalnu površinu koju je imao za [inlmath]x_0=1[/inlmath], tako da će i za jedan i za drugi uslov maksimalna površina trougla i dalje biti ona koju je imao u tački lokalnog maksimuma, za [inlmath]x_0=1[/inlmath].

Međutim, drugačija bi situacija bila kad bi važio uslov [inlmath]x>-2[/inlmath]. Kada [inlmath]x_0[/inlmath], idući ka negativnijim vrednostima, prođe tačku [inlmath]\approx-1,557[/inlmath], tada površina trougla postane veća od one površine u tački lokalnog maksimuma [inlmath]x_0=1[/inlmath], i daljim kretanjem [inlmath]x_0[/inlmath] ka negativnijim vrednostima površina trougla se i dalje povećava, tako da će za [inlmath]x_0=-2[/inlmath], kako napisah u prethodnom postu, već biti preko pet puta veća od površine u tački lokalnog maksimuma [inlmath]x_0=1[/inlmath].
I, kad imamo uslov [inlmath]x\ge-2[/inlmath], tada je stvar jasna. Tada će maksimalna vrednost površine trougla biti upravo površina koju trougao ima za [inlmath]x_0=-2[/inlmath].
Međutim, šta kad imamo uslov [inlmath]x>-2[/inlmath]? Tada [inlmath]x_0[/inlmath] sme biti u vrlo bliskoj okolini vrednosti [inlmath]-2[/inlmath], ali ne sme biti [inlmath]-2[/inlmath].
Odgovor je da, koliko god to čudno zvučalo, tada neće postojati trougao maksimalne površine. :)
O sličnim slučajevima već je bilo reči – u ovom postu i u ovoj temi.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8343
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4438 puta
Pohvaljen: 4438 puta

Prethodna

Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 05. Avgust 2020, 15:38 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs