Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Indukcija – dokaz nejednacine

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Indukcija – dokaz nejednacine

Postod ss_123 » Subota, 26. Novembar 2016, 21:13

Trebam pomoc sa sledecim zadatkom
Ispitati da li vrijedi:
[dispmath]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}[/dispmath] Provjerio sam za [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] i vazi. Za [inlmath]1[/inlmath] ne vazi. Znaci ako pokazem da vrijedi reci cu da vrijedi za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]

Zbunjuje me induktivna (ili indukcijska) pretpostavka jer je ovo nejednacina, a ne jednacina...
Da li ide ovako
[dispmath]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2(n+1)}>\frac{13}{24}[/dispmath] I nisam siguran da li se dodaje isti element i desnoj strani?
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Indukcija – dokaz nejednacine

Postod mala_mu » Subota, 26. Novembar 2016, 22:17

Baza: za [inlmath]n=2[/inlmath] imamo [inlmath]\frac{14}{24}>\frac{13}{24}[/inlmath], što je tačno

Korak: Pretpostavimo da vrijedi za [inlmath]n=k[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}>\frac{13}{24}[/dispmath] Trebamo dokazati da je tvrđenje tačno za [inlmath]n=k+1[/inlmath], tj. trebamo dokazati
[dispmath]\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(k+1)}>\frac{13}{24}[/dispmath] Obilježiću sa [inlmath]S_k=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}[/inlmath], po pretpostavci je [inlmath]S_k>\frac{13}{24}[/inlmath],
i [inlmath]S_{k+1}=\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(k+1)}[/inlmath]

Sada posmatramo razliku [inlmath]S_{k+1}-S_k[/inlmath], poslije malo računanja dobije se:
[dispmath]S_{k+1}-S_k=\frac{1}{2(2k+1)(k+1)}[/dispmath] Znamo da je [inlmath]S_{k+1}-S_k>0[/inlmath], jer je [inlmath]k>0,\;k+1>0,\;2k+1>0[/inlmath]
[dispmath]S_{k+1}-S_k>0\\
S_{k+1}>S_k>\frac{13}{24}[/dispmath] po induktivnoj pretpostavci
Dokazali smo [inlmath]S_{k+1}>\frac{13}{24}[/inlmath]
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

Re: Indukcija – dokaz nejednacine

Postod ss_123 » Subota, 26. Novembar 2016, 23:54

A zasto u svakom clanu u pretpostavci mijenjamo [inlmath]k[/inlmath] sa [inlmath]k+1[/inlmath] i jos dodajemo sljedeci clan?
Ja sam mislio da treba jedno od to dvoje.
Kod jednacina(suma), jel tako, dodajemo samo sljedeci clan?
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +2

Re: Indukcija – dokaz nejednacine

Postod Daniel » Nedelja, 27. Novembar 2016, 02:14

ss_123 je napisao:Provjerio sam za [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] i vazi. Za [inlmath]1[/inlmath] ne vazi. Znaci ako pokazem da vrijedi reci cu da vrijedi za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]

Ne, nego za [inlmath]n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}[/inlmath], upravo zbog toga što, kako si i sâm konstatovao, zadata nejednakost ne važi za [inlmath]n=1[/inlmath].

ss_123 je napisao:Da li ide ovako
[dispmath]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2(n+1)}>\frac{13}{24}[/dispmath]

Ne. Iz zadatog izraza možeš videti da imenioci sabiraka kreću od imenioca koji je za jedan veći od [inlmath]n[/inlmath], u svakom sledećem sabirku imenilac je uvećan za [inlmath]1[/inlmath] u odnosu na imenilac prethodnog sabirka, a imenilac poslednjeg sabirka je dvaput veći od [inlmath]n[/inlmath].
Koristeći ova tri jednostavna pravila lako možeš zaključiti kako treba da glasi izraz kada [inlmath]n[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]k+1[/inlmath]. Imenilac prvog sabirka biće za [inlmath]1[/inlmath] veći od [inlmath]k+1[/inlmath], tj. biće [inlmath]k+2[/inlmath], zatim, imenilac svakog sledećeg sabirka biće veći za [inlmath]1[/inlmath] od prethodnog, tj. biće [inlmath]\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\frac{1}{k+4}+\cdots[/inlmath], a poslednji sabirak će biti [inlmath]\frac{1}{2(k+1)}[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{1}{2k+2}[/inlmath]. To znači da će tri poslednja sabirka biti [inlmath]\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}[/inlmath]. Prema tome, ceo izraz će glasiti [inlmath]\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\frac{1}{k+4}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}[/inlmath], kako ti je mala_mu i napisala.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8162
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4282 puta
Pohvaljen: 4339 puta

Re: Indukcija – dokaz nejednacine

Postod ss_123 » Nedelja, 27. Novembar 2016, 13:58

Sad mi je jasno. Zahvaljujem se na pomoci. (:
ss_123  OFFLINE
 
Postovi: 85
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Indukcija – dokaz nejednacine

Postod Frank » Subota, 18. April 2020, 19:43

Daniel je napisao:To znači da će tri poslednja sabirka biti [inlmath]\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}[/inlmath].

Zasto uopste i pisemo poslednja tri sabirka, a ne samo poslednji?
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 119 puta
Pohvaljen: 120 puta

  • +1

Re: Indukcija – dokaz nejednacine

Postod Daniel » Nedelja, 19. April 2020, 07:33

Ako bismo napisali samo poslednji sabirak, [inlmath]\frac{1}{2k+2}[/inlmath], onda ne bi bilo očigledno da se između [inlmath]\frac{1}{2k}[/inlmath] (koji je poslednji sabirak sume [inlmath]S_k[/inlmath]) i poslednjeg sabirka [inlmath]\frac{1}{2k+2}[/inlmath] nalazi još i sabirak [inlmath]\frac{1}{2k+1}[/inlmath].
Ovako, kad napišemo tri poslednja sabirka, otklonjena je svaka nedoumica.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8162
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4282 puta
Pohvaljen: 4339 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 03. Jun 2020, 02:05 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs