Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA KOMPLEKSNA ANALIZA

Naci z

[inlmath]e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi[/inlmath]

Naci z

Postod markoskoric916 » Nedelja, 26. Novembar 2017, 20:19

Naci kompleksan broj [inlmath]z[/inlmath] koji zadovoljava jednakosti:
[dispmath]\text{Im}\left(z^2+\imath-\imath\text{Re}\left(\frac{1+2\imath}{\imath}\right)\right)=1,\quad\arg\left(z^4\left(-1+\imath\sqrt3\right)\right)=\frac{4\pi}{3}[/dispmath] ja sam dosao do toga da je:
[dispmath]\text{Im}\left(z^2\right)=2,\quad\arg\left(z^2\right)\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{7\pi}{3},\frac{10\pi}{3}\right\}[/dispmath] na osnovu da je imaginarni dio pozitivan, znaci da argument mora biti izmedju prvog i drugog kvadranta, i da uglovi koji odgovaraju uslovu su:
[dispmath]\frac{\pi}{3}[/dispmath] i
[dispmath]\frac{7\pi}{3}[/dispmath] kako imaju isti sinus i kosinus dovoljno je uzeti samo jedan od ta dva argumenta, poslije sam izracunao da je
[dispmath]\text{Re}\left(z^2\right)=\frac{2\sqrt3}{3}[/dispmath] Pokusao sam da izracunam [inlmath]z[/inlmath], ali mi nije uspjelo, sada ne znam da li sam pogrijesio u pocetku, pa bih zamolio za pomoc
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Naci z

Postod Daniel » Ponedeljak, 27. Novembar 2017, 03:16

Sve si dobro uradio. Ispravio bih (tj. napomenuo) samo par sitnica.

markoskoric916 je napisao:[dispmath]\arg\left(z^2\right)\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{7\pi}{3},\frac{10\pi}{3}\right\}[/dispmath]

Dovoljne su ti samo prve dve vrednosti. [inlmath]\frac{7\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{10\pi}{3}[/inlmath] su suvišne, budući da one u kompleksnoj ravni predstavljaju isto što i prve dve vrednosti, [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{4\pi}{3}[/inlmath].
Ti si ovde tražio argument drugog korena broja [inlmath]z^4[/inlmath] (kako bi dobio argument broja [inlmath]z^2[/inlmath]), a kad tražiš [inlmath]n[/inlmath]-ti koren kompleksnog broja, tada treba da dobiješ i [inlmath]n[/inlmath] vrednosti za argumente (to ti je ono kad [inlmath]k[/inlmath] ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]n-1[/inlmath]...) Znači, ovde treba da dobiješ dve vrednosti za argument.
Uostalom, posle si ionako odbacio [inlmath]\frac{7\pi}{3}[/inlmath] jer si video da je u kompleksnoj ravni to isto što i [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath]), ali nisi uopšte morao ni da posmatraš tu vrednost.

markoskoric916 je napisao:na osnovu da je imaginarni dio pozitivan, znaci da argument mora biti izmedju prvog i drugog kvadranta,

Tačnije, argument može biti u prvom ili u drugom kvadrantu, a ne između prvog i drugog.



Ostalo je na kraju još samo da odrediš [inlmath]z[/inlmath]. Prvo odredi koliko iznosi moduo broja [inlmath]z^2[/inlmath] (na osnovu njegovog realnog i imaginarnog dela, što ti je poznato), a zatim, kad znaš moduo i argument tog broja, lako nađeš i njegove kvadratne korene...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3795 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Naci z

Postod markoskoric916 » Ponedeljak, 27. Novembar 2017, 08:26

Hvala vam na napomenama puno mi znaci to. Sve sam vas razumio, ali kada pocnem da racunam [inlmath]z[/inlmath] ispadnu mi cudni rezultati, pa bih volio da vi uradite. Kada nadjem moduo kompleksnog broja dobijem sljedece
[dispmath]z^2=\frac{2\sqrt3}{3}+\imath2[/dispmath] e sada moja ideja je bila da to predstavim kao
[dispmath]x^2+2\imath xy-y^2=\frac{2\sqrt3}{3}+\imath2[/dispmath] pa zatim izjednacim realan i imaginaran dio. pa na osnovu toga dobijem da je imaginarni dio
[dispmath]\frac{\sqrt[4]3}{3}[/dispmath] a realni dio [dispmath]\sqrt[4]3[/dispmath] Gdje sada grijesim? posto kada te vrijednosti dobijem ne mogu dobiti argument koji je dat u pocetku zadatka
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Naci z

Postod bobanex » Ponedeljak, 27. Novembar 2017, 10:18

Realni deo je dobar mada možda može biti i suprotnog znaka dok je imaginarni deo njegova recipročna vrednost i on nijer dobro izračunat.
[dispmath]\frac{1}{\sqrt[4]3}\frac{\sqrt[4]3}{\sqrt[4]3}=\frac{\sqrt[4]3}{3}[/dispmath] Da se nije ovako nešto desilo? :)
Korisnikov avatar
bobanex   ONLINE
 
Postovi: 453
Lokacija: Požarevac
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 461 puta

Re: Naci z

Postod markoskoric916 » Ponedeljak, 27. Novembar 2017, 10:53

Da tako se desilo
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Naci z

Postod Daniel » Ponedeljak, 27. Novembar 2017, 15:05

markoskoric916 je napisao:Kada nadjem moduo kompleksnog broja dobijem sljedece
[dispmath]z^2=\frac{2\sqrt3}{3}+\imath2[/dispmath]

To nije moduo. Možeš raditi i tako, ali ako želiš da izbegneš sistem od dve jednačine s dve nepoznate, kao i bikvadratnu jednačinu, onda [inlmath]z^2[/inlmath] napišeš u trigonometrijskom obliku, [inlmath]\left|z^2\right|\bigl(\cos(\varphi+2k\pi)+i\sin(\varphi+2k\pi)\bigr)[/inlmath]. I onda kao i uvek kad korenuješ kompleksni broj u trigonometrijskom obliku – moduo korenuješ, a argument podeliš onim brojem čiji koren tražiš (u ovom slučaju podeliš sa [inlmath]2[/inlmath]).

A moduo nalaziš kao [inlmath]|z|=\sqrt{x^2+y^2}[/inlmath] (gde je [inlmath]z=x+iy[/inlmath]). Geometrijski, to je rastojanje kompleksnog broja od koordinatnog početka u kompleksnoj ravni.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3795 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Naci z

Postod markoskoric916 » Ponedeljak, 27. Novembar 2017, 15:45

Ja sam se samo lose izrazio, mislio sam kada nadjem modul kompleksan broj, onda dobijem taj kompleksan broj ispod, moduo kompleksnog broja je
[dispmath]\frac{4\sqrt3}{3}[/dispmath] Onda je dobijem dva rijesenja, po vasim uputstvima
[dispmath]z_0=\frac{2\sqrt[4]3}{3}\left(\cos\frac{\pi}{6}+\imath\sin\frac{\pi}{6}\right)[/dispmath] i
[dispmath]z_1=\frac{2\sqrt[4]3}{3}\left(\cos\frac{7\pi}{6}+\imath\sin\frac{7\pi}{6}\right)[/dispmath]
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Naci z

Postod Daniel » Ponedeljak, 27. Novembar 2017, 19:59

markoskoric916 je napisao:moduo kompleksnog broja je
[dispmath]\frac{4\sqrt3}{3}[/dispmath]

Da, samo treba precizirati da je to moduo kompleksnog broja [inlmath]z^2[/inlmath]. To jest, [inlmath]\left|z^2\right|[/inlmath].

markoskoric916 je napisao:Onda je dobijem dva rijesenja, po vasim uputstvima
[dispmath]z_0=\frac{2\sqrt[4]3}{\color{red}3}\left(\cos\frac{\pi}{6}+\imath\sin\frac{\pi}{6}\right)[/dispmath] i
[dispmath]z_1=\frac{2\sqrt[4]3}{\color{red}3}\left(\cos\frac{7\pi}{6}+\imath\sin\frac{7\pi}{6}\right)[/dispmath]

Pogrešno si odredio moduo broja [inlmath]z[/inlmath]. Moguće da si napravio istu onu grešku na koju ti je bobanex skrenuo pažnju?
[inlmath]|z|[/inlmath] će biti jednak [inlmath]\sqrt{\left|z^2\right|}[/inlmath], a [inlmath]\left|z^2\right|[/inlmath] je [inlmath]\frac{4\sqrt3}{3}[/inlmath], to si dobio.
Prema tome, [inlmath]|z|=\sqrt{\frac{4\sqrt3}{3}}[/inlmath], tj. [inlmath]|z|=\frac{2\sqrt[4]3}{\sqrt3}[/inlmath].
Sad bi se to moglo racionalisati množenjem sa [inlmath]\frac{\sqrt3}{\sqrt3}[/inlmath], ali preporučujem da racionalizaciju ostaviš za sâm kraj postupka.
Pre toga, za svaki kosinus i sinus u zagradi napiši kojoj vrednosti je jednak. Npr. umesto [inlmath]\cos\frac{\pi}{6}[/inlmath] napiši [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], slično i za [inlmath]\sin\frac{\pi}{6}[/inlmath], za [inlmath]\cos\frac{7\pi}{6}[/inlmath] i za [inlmath]\sin\frac{7\pi}{6}[/inlmath]. I zatim malo sredi sve te izraze i na kraju racionališi...

Treba kao konačan rezultat da dobiješ [inlmath]z_0=\sqrt[4]3+i\frac{\sqrt[4]{27}}{3}[/inlmath] i [inlmath]z_1=-\sqrt[4]3-i\frac{\sqrt[4]{27}}{3}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3795 puta
Pohvaljen: 3953 puta


Povratak na KOMPLEKSNA ANALIZA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 15. Oktobar 2018, 19:42 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs