Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Konvergencija brojnog reda, uporedjivanje

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Konvergencija brojnog reda, uporedjivanje

Postod Ena » Sreda, 16. Maj 2018, 20:51

Pozdrav, je l bi neko mogao da mi objasni poredbeni kriterijum odnosno jedan "detalj" u vezi njega nisam shvatila

Shvatam kako poredbeni kriterijum funkcionise, ali ne znam kako da biram red [inlmath]b_k[/inlmath], vidim da dosta njih koji imaju iskustva "odoka" znaju koji red da izaberu, pa eto ako bi neko mogao da mi objasni na nekom jednostavnijem primjeru, a i na ovom ispod, bila bih zahvalna
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt{\ln(n+1)}}{(1+n)\left(3+2\sqrt{\ln^3(n+1)}\right)}[/dispmath]
Ena  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Konvergencija brojnog reda, uporedjivanje

Postod techn0 » Sreda, 16. Maj 2018, 22:10

Pozdrav Ena.
Prema poredbenom kriterijumu, ako postoji neko [inlmath]K<+\infty[/inlmath].
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}[/dispmath] Tada su redovi [inlmath]A_n[/inlmath] i [inlmath]B_n[/inlmath] ekvikonvergentni, sto znaci da oba reda konvergiraju ili oba reda divergiraju.
Ovaj [inlmath]B_n[/inlmath] koji ti biras, uvijek stimas da ti ovaj limes bude [inlmath]1[/inlmath], sto je najlakse ili neki prirodan broj. Ali stimas tako da uz pomoc nekog drugog kriterijuma mozes odrediti konvergenciju (divergenciju) tog reda [inlmath]B_k[/inlmath]. Pa onda napises zakljucak, koji bi glasio. Na osnovu poredbenog kriterijuma zakljucujemo da red [inlmath]A_n[/inlmath] konv/div.

Nadam se da nisam negdje propustio nesto :D
Ako ti nesto nije jasno, samo pucaj pitanja. Na ovom forumu ima dosta ljudi koji vole analizu.

Srdacan pozdrav
techn0   ONLINE
 
Postovi: 32
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 6 puta

Re: Konvergencija brojnog reda, uporedjivanje

Postod Ena » Četvrtak, 17. Maj 2018, 19:21

Hvala na ovako lijepo obrazlozenom odgovoru. Je l bi mogao jos par primjera redova da navedes i objasnis zasto bas taj [inlmath]b_n[/inlmath] uzimas, ako ti nije problem. Hvala jos jednom :)
Ena  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Konvergencija brojnog reda, uporedjivanje

Postod Onomatopeja » Subota, 19. Maj 2018, 00:13

techn0 je napisao:Pozdrav Ena.
Prema poredbenom kriterijumu, ako postoji neko [inlmath]K<+\infty[/inlmath].
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}[/dispmath] Tada su redovi [inlmath]A_n[/inlmath] i [inlmath]B_n[/inlmath] ekvikonvergentni, sto znaci da oba reda konvergiraju ili oba reda divergiraju.

Mislim da si sa [inlmath]A_n[/inlmath] i [inlmath]B_n[/inlmath] hteo da oznacis clanove od dva reda koji se posmatraju.

No, trebali bi biti malo precizniji. Ovo tvoje prethodno vazi ako posmatramo redove sa pozitivnim clanovima (ili sa pozitivnim pocevsi od nekog mesta) [mogu se i posmatrati i redovi sa negativnim clanovima, ali onda izvlacenjem znaka minusa svodimo na pozitivne]. Ako posmatramo dva reda koji nemaju clanove stalnog znaka, onda prethodno ne vazi. Primer za to bi bila dva reda gde su opsti clanovi zadati sa [inlmath]\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac{1}{n}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}[/inlmath].

Takodje, ako je [inlmath]K=0[/inlmath], onda nemamo da su dati redovi ekvikonvergentni, vec “samo” da iz konvergencije reda [inlmath]\sum_{n=1}^\infty b_n[/inlmath] sledi i konvergencija reda [inlmath]\sum_{n=1}^\infty a_n[/inlmath].
 
Postovi: 563
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 531 puta

Re: Konvergencija brojnog reda, uporedjivanje

Postod techn0 » Sreda, 23. Maj 2018, 14:45

@Onomatopeja, slazem se sa svim dopunama. :)
@Ena, na ovom linku imas uslikan kriterijum iz knjige.
* MOD EDIT * prekucavanje sadržaja s linkovane slike u Latex

TEOREMA 5.7. Poredbeni kriterijumi konvergencije.

  1. Ako je [inlmath]a_n\le C\cdot b_n,[/inlmath] [inlmath](C>0)[/inlmath] za skoro svako [inlmath]n[/inlmath] tada
    [dispmath]\sum_{n=1}^{+\infty}b_n<+\infty\;\Longrightarrow\;\sum_{n=1}^{+\infty}a_n<+\infty,\;\sum_{n=1}^{+\infty}a_n=+\infty\;\Longrightarrow\;\sum_{n=1}^{+\infty}b_n=+\infty.[/dispmath]
  2. Ako je [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=K[/inlmath], onda
    1. za [inlmath]K=0[/inlmath],
      [dispmath]\sum_{n=1}^{+\infty}b_n<+\infty\;\Longrightarrow\;\sum_{n=1}^{+\infty}a_n<+\infty,\;\sum_{n=1}^{+\infty}a_n=+\infty\;\Longrightarrow\;\sum_{n=1}^{+\infty}b_n=+\infty;[/dispmath]
    2. za [inlmath]K=+\infty,[/inlmath]
      [dispmath]\sum_{n=1}^{+\infty}a_n<+\infty\;\Longrightarrow\;\sum_{n=1}^{+\infty}b_n<+\infty,\;\sum_{n=1}^{+\infty}b_n=+\infty\;\Longrightarrow\;\sum_{n=1}^{+\infty}a_n=+\infty;[/dispmath]
    3. za [inlmath]0<K<+\infty[/inlmath], redovi [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_n[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}b_n[/inlmath] su ekvikonvergentni, tj. oba reda su ili konvergentna ili divergentna.
  3. Ako je [inlmath]\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\le\frac{b_{n+1}}{b_n}[/inlmath], za skoro svako [inlmath]n[/inlmath], tada
    [dispmath]\sum_{n=1}^{+\infty}b_n<+\infty\;\Longrightarrow\;\sum_{n=1}^{+\infty}a_n<+\infty,\;\sum_{n=1}^{+\infty}a_n=+\infty\;\Longrightarrow\;\sum_{n=1}^{+\infty}b_n=+\infty.[/dispmath]

A primjer...
[dispmath]A_n=\sum\frac{1}{10000000+x^4}[/dispmath] Uzimamo [inlmath]B_n[/inlmath]:
[dispmath]\sum\frac{1}{x^4}[/dispmath] jer je [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}=1[/inlmath]. Mislim da si shvatila poentu. A za [inlmath]B_n[/inlmath], primjenis neki od poznatih kriterija ;)
techn0   ONLINE
 
Postovi: 32
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 6 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 26. Maj 2018, 11:58 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs