Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Hiperbola i prava

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Moderator: Corba248

Hiperbola i prava

Postod aleksa123 » Četvrtak, 14. Jun 2018, 19:44

Cudi me sto ima tako malo zadataka iz analiticke geometrije! Bio sam siguran da cu naci ovaj zadatak, ali eto ispostavilo se da ga nema. :D
Ide ovako: Ako su [inlmath]a,b>0[/inlmath] takvi da prava [inlmath]\sqrt2x-2y-4=0[/inlmath] dodiruje hiperbolu [inlmath]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath] u tacki [inlmath]A\left(4\sqrt2,2\right)[/inlmath], onda je [inlmath]a+b=[/inlmath]...

great.png
great.png (18.34 KiB) Pogledano 84 puta

Mislim da sam ga upravo resio... Ipak nisam, nema veze.
Originalno sam mislio da posto je ova prava tangenta mora da ispunjava uslov [inlmath]a^2k^2+b^2=n^2[/inlmath], posto nam je [inlmath]k=\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], a [inlmath]n=-2[/inlmath] iz jednacine prave koje smo dobili onda je [inlmath]\frac{a^2}{2}+b^2=4[/inlmath]. I druga jednacina nam je [inlmath]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath] gde je [inlmath]A(x,y)[/inlmath], tj. [inlmath]x=4\sqrt2[/inlmath], a [inlmath]y=2[/inlmath] i onda je to [inlmath]32b^2-4a^2=a^2b^2[/inlmath]. Ovaj ovde sistem
[dispmath]\frac{a^2}{2}+b^2=4\\
32b^2-4a^2=a^2b^2[/dispmath] sam resavao nekoliko puta i nisam dobijao realna resenja. Onda sam se iznervirao posto je bilo 3 ujutru i ubacio sam sistem u onaj sajt "WolframAlpha" i on je rekao da nema realnih resenja. Tu sam stao, ali sam sad, tj. malo pre, stavio jednacinu [inlmath]32b^2-4a^2=a^2b^2[/inlmath] na taj isti sajt i on je nasao "Integer solution" sta god to bilo [inlmath]a=|4|[/inlmath], [inlmath]b=|2|[/inlmath]. To je tacno resenje. Sad sam malo zbunjen... mnogo zbunjen i veoma me zanima sta je ovo "Integer solution". Bilo kakva pomoc bi mi dobro dosla! Hvala.
 
Postovi: 26
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Hiperbola i prava

Postod miletrans » Četvrtak, 14. Jun 2018, 20:07

Čekaj, čekaj...
Da li prava dodiruje hiperbolu ili seče hiperbolu? To nikako nije isto. Ti si nacrtao pravu koja seče hiperbolu. Ako je dodiruje, to znači da je prava tangenta na hiperbolu.

Druga stvar, jednačina [inlmath]a^2k^2+b^2=n^2[/inlmath] je jednačina tangente elipse, a ne hiperbole.
Globalni moderator
 
Postovi: 208
Zahvalio se: 21 puta
Pohvaljen: 229 puta

Re: Hiperbola i prava

Postod aleksa123 » Četvrtak, 14. Jun 2018, 20:22

Promenicu boju prave, da bi se jasnije videlo! Dodiruje hiperbolu u tacki [inlmath]A[/inlmath].

great.png
great.png (10.95 KiB) Pogledano 76 puta

Da pogresio sam formulu... :facepalm:
Mozda ce sad imati resenje, hvala!
 
Postovi: 26
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Hiperbola i prava

Postod Daniel » Petak, 15. Jun 2018, 12:43

miletrans je napisao:Druga stvar, jednačina [inlmath]a^2k^2+b^2=n^2[/inlmath] je jednačina tangente elipse, a ne hiperbole.

Upravo ovo je odgovor.
Kad staviš minus umesto plusa, dobijaš sistem koji vodi do tačnog rešenja.

aleksa123 je napisao:Tu sam stao, ali sam sad, tj. malo pre, stavio jednacinu [inlmath]32b^2-4a^2=a^2b^2[/inlmath] na taj isti sajt i on je nasao "Integer solution" sta god to bilo [inlmath]a=|4|[/inlmath], [inlmath]b=|2|[/inlmath]. To je tacno resenje. Sad sam malo zbunjen... mnogo zbunjen i veoma me zanima sta je ovo "Integer solution".

Ne [inlmath]a=|4|[/inlmath], [inlmath]b=|2|[/inlmath], već [inlmath]a=\pm4[/inlmath], [inlmath]b=\pm2[/inlmath]. To je bitna razlika. Pravilno bi bilo pisati i [inlmath]|a|=4[/inlmath], [inlmath]|b|=2[/inlmath], ali ne [inlmath]a=|4|[/inlmath], [inlmath]b=|2|[/inlmath].
„Integer solution“ je celobrojno rešenje (mada mislim da si ovaj prevod i sâm znao). Jednačina [inlmath]32b^2-4a^2=a^2b^2[/inlmath] ima dve nepoznate i može imati beskonačno mnogo rešenja, ali će samo neka od njih biti celobrojna (i to ograničen broj). Pored ovih koje si naveo, celobrojno rešenje je i [inlmath](x,y)=(0,0)[/inlmath].
Iako sad malo idem u offtopic – kad si već pitao, iz ove jednačine se jedna nepoznata može izraziti preko druge, npr. [inlmath]b[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath], tj. [inlmath]\displaystyle b=\pm\frac{2a}{\sqrt{32-a^2}}[/inlmath]. Odavde se lako mogu odrediti celobrojna rešenja. Pošto [inlmath]b[/inlmath] mora biti celobrojno, mora biti celobrojna desna strana, a to će biti slučaj kada je [inlmath]a=0[/inlmath] (jer je tada cela desna strana nula, što je takođe ceo broj). Takođe, ako tražimo i druga celobrojna rešenja osim [inlmath](0,0)[/inlmath], neophodan (ne i dovoljan) uslov da desna strana bude ceo broj, jeste taj da je pod korenom kvadrat celog broja (to će biti dovoljan uslov da izraz na desnoj strani bude racionalan, ali ne da bude i ceo broj). Pošto je [inlmath]a^2[/inlmath] pozitivno, veličina pod korenom se može nalaziti u intervalu od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]32[/inlmath]. U tom intervalu kvadrati celog broja su [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]9[/inlmath], [inlmath]16[/inlmath] i [inlmath]25[/inlmath]. To su, znači, moguće vrednosti izraza [inlmath]32-a^2[/inlmath] (pri čemu i [inlmath]a[/inlmath] mora biti ceo broj) za koje će izraz na desnoj strani biti racionalan. To će biti ispunjeno za [inlmath]a^2=16[/inlmath]. Da li je dobijeni izraz na desnoj strani ujedno i ceo broj, proveravamo uvrštavanjem [inlmath]a=\pm4[/inlmath], čime dobijamo [inlmath]b=\pm2[/inlmath]. Znači, [inlmath](a,b)=(\pm4,\pm2)[/inlmath] jeste celobrojno rešenje, pored ranije dobijenog [inlmath](a,b)=(0,0)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3795 puta
Pohvaljen: 3953 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 15. Oktobar 2018, 19:41 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs