Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijska jednacina

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Moderator: Corba248

Trigonometrijska jednacina

Postod 1 9 9 9 » Ponedeljak, 18. Jun 2018, 12:45

Pozdrav drugari!

Imam pitanje u vezi jedne trigonometrijske jednacine. Zadatak glasi:
Resiti jednacinu:
[dispmath]\frac{1}{2}+\cos\left(x\right)+\cos\left(2x\right)+\cos\left(3x\right)+\cos\left(4x\right)=0[/dispmath] Pokusao sam da transformisem [inlmath]\cos(x)[/inlmath] i [inlmath]\cos(3x)[/inlmath] u zbir, kao i [inlmath]\cos(2x)[/inlmath] i [inlmath]\cos(4x)[/inlmath], ali nisam znao sta dalje, pomoc bi dobro dosla! U resenju pise, pomnoziti datu jednacinu sa [inlmath]2\sin(x)[/inlmath] i primetiti da resenja jednacine [inlmath]\sin(x)=0[/inlmath] nisu ujedno i resenja date jednacine. Tacan rezultat: [inlmath]x=\frac{2k\pi}{9}[/inlmath]
Hvala najlepse! :)
I am so clever that sometimes I don't understand a single word of what I am saying.
1 9 9 9  OFFLINE
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Trigonometrijska jednacina

Postod Daniel » Ponedeljak, 18. Jun 2018, 13:57

Pa, jesi li pomnožio? Šta dobiješ nakon množenja?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7199
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3735 puta
Pohvaljen: 3917 puta

Re: Trigonometrijska jednacina

Postod Daniel » Ponedeljak, 02. Jul 2018, 15:58

Nadao sam se nekom odgovoru, kako bismo malo prodiskutovali i ovaj način rešavanja. U svakom slučaju, ovakvu jednačinu smo već imali u ovoj temi, u kojoj je rešavan zadatak s prijemnog na ETF-u 2016. godine. Tamo sam je rešavao na neki drugi način, koga zanima može pogledati.

1 9 9 9 je napisao:Tacan rezultat: [inlmath]x=\frac{2k\pi}{9}[/inlmath]

Ovo nije krajnji rezultat, jer on obuhvata i neka od rešenja jednačine [inlmath]\sin x=0[/inlmath] (za [inlmath]k=\ldots,-18,-9,0,9.18,\ldots[/inlmath]), za koja je u uputstvu upravo i naglašeno da to nisu i rešenja date jednačine. Znači, od prethodnog rezultata treba oduzeti skup [inlmath]x=2k\pi[/inlmath], čime bi se došlo do konačnog rešenja.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7199
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3735 puta
Pohvaljen: 3917 puta

Re: Trigonometrijska jednacina

Postod jojovanana » Sreda, 04. Jul 2018, 18:45

Mozete li ipak da resite mnozenjem sa [inlmath]\sin x[/inlmath]? Pokusala sam da ga resim na taj nacin, ali ne umem. Resavala sam ga davno (pre mesec dana :D), ali cini mi se da dobijem jedacinu cetvrtog stepena, sa nepoznatom [inlmath]\sin x[/inlmath], koju nisam umela da sredim. Pokusacu ponovo da ga uradim kada budem imala svesku pri ruci.
Ovaj zadatak je inace iz iste zbirke kao i ovaj, a u pitanju je Metodicka zbirka zadataka za polaganje prijemnog ispita iz matematike sa resenjima i pregledom teorije za upis na tehnicke i prirodno-matematicke fakultete Mirka S. Jovanovica, koju preporucujem svima koji se spremaju za ETF. :) (Znam da je zabranjeno reklamiranje, ali ovo je vise prijateljski savet buducim maturantima koji ovo budu citali, nego reklama, pa se nadam da se moderatori nece naljutiti. :D)
 
Postovi: 17
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Trigonometrijska jednacina

Postod Daniel » Sreda, 04. Jul 2018, 20:24

Dakle, imamo jednačinu koju dobismo množenjem početne sa [inlmath]2\sin x[/inlmath]:
[dispmath]\sin x+2\sin x\cos x+2\sin x\cos2x+2\sin x\cos3x+2\sin x\cos4x=0[/dispmath] Drugi sabirak napišemo kao [inlmath]\sin2x[/inlmath], na svaki od poslednja tri sabirka primenimo transformaciju proizvoda u zbir, nakon čega se tu svašta-nešto pokrati...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7199
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3735 puta
Pohvaljen: 3917 puta

Re: Trigonometrijska jednacina

Postod jojovanana » Četvrtak, 05. Jul 2018, 02:08

:facepalm: Uopšte mi nije ni palo na pamet da transformišem u zbir, već sam sve vreme pokušavala da izvedem jednačinu sa nepoznatom [inlmath]\sin x[/inlmath], što se veoooma iskomplikovalo.
[dispmath]\sin x+\sin2x+\sin3x-\sin x+\sin 4x-\sin 2x+\sin5x-\sin3x=0\\
\sin4x+\sin5x=0\\
2\sin\frac{9x}{2}\cos\frac{x}{2}=0\\
\sin\frac{9x}{2}=0,\quad x=\frac{2k\pi}{9},\quad k\ne9n\\
\cos\frac{x}{2}=0,\quad x=(2k+1)\pi[/dispmath] Jel sve u redu i šta nije? :D
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 06. Jul 2018, 15:22, izmenjena samo jedanput
Razlog: Uklanjanje nepotrebnog citata prethodnog posta (tačka 15. Pravilnika)
 
Postovi: 17
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Trigonometrijska jednacina

Postod Daniel » Četvrtak, 05. Jul 2018, 02:22

Sve je u redu, zasad. :)
Sad je još potrebno, kao što je i rečeno u uputstvu, da od dobijenog skupa rešenja odbiješ onaj skup koji bi predstavljao rešenja za [inlmath]\sin x=0[/inlmath].
Za [inlmath]\sin\frac{9x}{2}=0[/inlmath] si to već učinila, sad još i za [inlmath]\cos\frac{x}{2}=0[/inlmath].

Moliću, bez nepotrebnog citiranja prethodnog posta – tačka 15. Pravilnika.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7199
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3735 puta
Pohvaljen: 3917 puta

Re: Trigonometrijska jednacina

Postod jojovanana » Utorak, 10. Jul 2018, 15:09

...a to znači da je jedino rešenje [inlmath]x=\frac{2kπ}{9}[/inlmath] , jer je za svako [inlmath]x[/inlmath] za koje je zadovoljeno [inlmath]\cos \frac{x}{2}
=0[/inlmath] i [inlmath]\ sin x =0[/inlmath] :)
Hvala!
 
Postovi: 17
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Trigonometrijska jednacina

Postod Daniel » Sreda, 11. Jul 2018, 11:25

Zapravo, jedino rešenje je [inlmath]x=\frac{2k\pi}{9}[/inlmath] ali takvo da [inlmath]k[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]9[/inlmath], kao što si u pretprošlom postu i napisala.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7199
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3735 puta
Pohvaljen: 3917 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 23. Jul 2018, 11:49 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs