Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijska jednačina

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Moderator: Corba248

Trigonometrijska jednačina

Postod kazinski » Subota, 30. Jun 2018, 22:51

Zadatak glasi: Rešiti trigonometrijsku jednačinu:
[dispmath]\sin(x)\cdot\cos(x)=1-\frac{1}{2}\cdot\tan(x)[/dispmath] Kada pomnožimo sve sa [inlmath]2[/inlmath], data jednačina je ekvivalentna jednačini:
[dispmath]\sin2x+\tan x=2[/dispmath] Primenom trigonometrijskog identiteta:
[dispmath]\sin2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2x}[/dispmath] Jednačina se sada može napisati:
[dispmath]\frac{2\tan x}{1+\tan^2x}+\tan x=2[/dispmath] Uvedemo smenu:
[dispmath]\tan x=t[/dispmath] Jednačina poprima oblik:
[dispmath]\frac{2}{1+t^2}+t=2[/dispmath][dispmath]2t+t+t^3=2+2t^2[/dispmath][dispmath]t^3-2t^2+3t-2=0[/dispmath][dispmath](t-1)\left(t^2-t+2\right)=0[/dispmath] Jednačina je ekvivalentna jednačini [inlmath]t-1=0[/inlmath], jer jednačina [inlmath]t^2-t+2=0[/inlmath] nema rešenja u skupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], budući da je diskriminanta manja od nule.

Iz [inlmath]\tan x=t=1[/inlmath], sledi:
[dispmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath] Da li neko zna drugačiji način rešavanja ovo zadatka da bi podelio jer upravo formula:
[dispmath]\sin2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2x}[/dispmath] ne spada ajmo reći u osnove trigonometrijske identitete koje bi lako zapamtili. :think1:
Korisnikov avatar
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 17 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Trigonometrijska jednačina

Postod Daniel » Subota, 30. Jun 2018, 23:23

Sasvim je u redu tvoj način. Identitet [inlmath]\displaystyle\sin2x=\frac{2\text{ tg }x}{1+\text{tg}^2 x}[/inlmath] ne spada u osnovne, ali se vrlo lako dobija iz osnovnih, [inlmath]\displaystyle\sin2x=2\sin x\cos x=2\frac{\sin x}{\cos x}\cos^2x[/inlmath], a zatim se na [inlmath]\cos^2x[/inlmath] primeni identitet [inlmath]\displaystyle\cos^2x=\frac{1}{1+\text{tg}^2x}[/inlmath].

Ali, ako baš želiš bez primene tog identiteta, može i na sledeći način (ne tvrdim da ne postoji i neki lakši):
[dispmath]\frac{1}{2}\text{tg }x=1-\sin x\cos x\\
\frac{1}{2}\text{tg }x-\sin x\cos x=1-2\sin x\cos x\\
\frac{1}{2}\text{tg }x\left(1-2\cos^2x\right)=\underbrace{\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x}_{(\sin x-\cos x)^2}\\
\frac{1}{2}\text{tg }x\left(\sin^2x-\cos^2x\right)=(\sin x-\cos x)^2\\[/dispmath] Razložimo razliku kvadrata na levoj strani, uočimo da na obe strane figuriše faktor [inlmath](\sin x-\cos x)[/inlmath], što znači da [inlmath]\sin x-\cos x=0[/inlmath] predstavlja jedno rešenje, tj. [inlmath]\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath], nakon toga podelimo obe strane tim faktorom i dobijemo
[dispmath]\frac{1}{2}\text{tg }x(\sin x+\cos x)=\sin x-\cos x[/dispmath] Prebacimo [inlmath](\sin x+\cos x)[/inlmath] na desnu stranu, na desnoj strani podelimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]\cos x[/inlmath] i dobijemo jednačinu u kojoj figuriše samo tangens. Nakon uvođenja smene vidi se da ta jednačina nema rešenja, tako da ostaje samo [inlmath]\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7290
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3784 puta
Pohvaljen: 3949 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 25. Septembar 2018, 22:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs