Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Jednačina prave svetlosnog zraka kroz tačku

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Moderator: Corba248

Jednačina prave svetlosnog zraka kroz tačku

Postod coa1999 » Nedelja, 01. Jul 2018, 00:46

Možda je malo glupo pitanje, ali zaista mi nije jasno rješenje zadatka :D

Iz tačke [inlmath]A(-5,6)[/inlmath] polazi svetlosni zrak pod uglom [inlmath]\text{arctg}(-2)[/inlmath] prema [inlmath]x[/inlmath] osi, odbija se od te ose, a zatim se odbija od [inlmath]y[/inlmath] ose. Napisati jednačine ova tri zraka.
S obzirom da znamo da je [inlmath]y-y_1=k(x-x_1)[/inlmath] a takođe znamo da je [inlmath]k=-2[/inlmath]
jednačina prave glasi [inlmath]y=-2x-4[/inlmath]
Rješenja zadatka su jednačine
[dispmath]y=-2x-4\\
y=2x+4\\
y=-2x+4[/dispmath] Mene zanima sledeće: Ako je upadni ugao zraka jednak odbojnom uglu, to znači da su jednaki tangensi tih uglova tj da su jednaki koeficijenti pravca ovih pravih što u rješenjima nije slučaj. Na kraju krajeva znamo kojom kroz koju tačku prolazi prava i koji ugao zaklapa sa [inlmath]x[/inlmath] osom, dakle zar ne bi sve tri jednačine trebale da budu iste? Hvala unaprijed :D
coa1999  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Jednačina prave svetlosnog zraka kroz tačku

Postod m_p_prijedor » Nedelja, 01. Jul 2018, 18:54

Evo, ja sam odlučio nacrtati i nekako ti intuitivnije pokazati kako sve tri duži nisu iste.
Naime, iako su dvije paralelne, jedna je "pomjerena" za neku vrijednost [inlmath]n[/inlmath] dok ova druga nije. Lako je, zapravo, i vidjeti kako ova jedna siječe [inlmath]x[/inlmath]-osu u vrijednosti [inlmath](-2,0)[/inlmath]. Ipak je [inlmath]k=\text{tg }\theta[/inlmath]. Označio sam i ti uglove koje zaklapaju zraka i njen odboj, jedno je neki ugao [inlmath]\theta[/inlmath], a drugo mora biti [inlmath]180^\circ-\theta[/inlmath]
Valjda će ti biti jasnije o čem pričam kad vidiš sliku.

Što se tiče jednačina pravih, prva je svakako [inlmath]y=-2x-4[/inlmath], treća (njoj paralelna) je [inlmath]y=-2x+4[/inlmath] (isti je koeficijent, ali je ova "pomjerena" za punih osam jediničnih vrijednosti, tj, od [inlmath]-4[/inlmath] do [inlmath]4[/inlmath] ima osam "koraka")*, a kako znamo da prvi odboj zraka prolazi kroz [inlmath](-2,0)[/inlmath] i [inlmath](0,4)[/inlmath] veoma lako možemo pronaći jednačinu te duži preko ovog obrasca, za jednačinu kroz dvije tačke
[dispmath]\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/dispmath] odnosno, ona je [inlmath]y=2x+4[/inlmath]

*što se ovog tiče, [inlmath]n[/inlmath] u izrazu za pravu [inlmath]y=kx+n[/inlmath] predstavlja tačku gdje prava sječe [inlmath]y[/inlmath]-osu. Iz toga, iz paralelnosti pravih, a iz i istog ugla koji zaklapa sa [inlmath]x[/inlmath]-osom, znam da je siječe na istoj udaljenosti, četiri koraka od [inlmath](0,0)[/inlmath]

Slika
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Jednačina prave svetlosnog zraka kroz tačku

Postod Daniel » Ponedeljak, 02. Jul 2018, 01:20

coa1999 je napisao:Mene zanima sledeće: Ako je upadni ugao zraka jednak odbojnom uglu, to znači da su jednaki tangensi tih uglova tj da su jednaki koeficijenti pravca ovih pravih što u rješenjima nije slučaj.

Ono što tebe buni to je što se u fizici kaže da je „upadni ugao jednak odbojnom uglu“. To je zbog toga što se u fizici posmatra oštar ugao koji zrak gradi s reflektujućom poršinom, nebitno u kom se smeru računa taj ugao, kao na slici:

zrak 1.png
zrak 1.png (750 Bajta) Pogledano 21 puta

Međutim, u analitičkoj geometriji kad se kaže da je koeficijent pravca neke prave jednak tangensu ugla koji ta prava zaklapa s [inlmath]x[/inlmath]-osom, onda se misli na ugao koji ne mora biti oštar, već može biti u intervalu [inlmath][0,180^\circ)[/inlmath], a koji se računa isključivo u CCW smeru (smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu):

zrak 2.png
zrak 2.png (858 Bajta) Pogledano 21 puta

To znači, odbojni ugao dobija se kad od [inlmath]180^\circ[/inlmath] oduzmemo upadni ugao, odakle sledi da će tangens odbojnog ugla biti jednak tangensu upadnog ugla po apsolutnoj vrednosti, ali suprotnog znaka. Samim tim, i koeficijenti pravaca upadnog i odbojnog zraka biće jednaki po apsolutnoj vrednosti, a suprotnog znaka.

U ovom konkretnom slučaju, pošto je tangens upadnog ugla negativan, znači da upadni ugao mora biti tup (kao na slici). Samim tim, odbojni ugao je oštar.
Pošto je koeficijent pravca upadnog zraka jednak [inlmath]-2[/inlmath], nakon prve refleksije njegov koeficijent pravca će biti [inlmath]2[/inlmath], a nakon druge refleksije njegov koeficijent pravca će opet biti [inlmath]-2[/inlmath], tj. biće paralelan prvobitnom zraku (kao što je m_p_prijedor i rekao).

(Da ne bude zabune – cela ova priča da je [inlmath]\text{tg }\theta_1=-\text{tg }\theta_2[/inlmath] važi samo za slučaj da se zrak odbija o pravac paralelan [inlmath]x[/inlmath]-osi, ili paralelan [inlmath]y[/inlmath]-osi. U opštem slučaju važe malo složenije formule.)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7290
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3784 puta
Pohvaljen: 3949 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: delgreen i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 25. Septembar 2018, 22:38 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs